过采样系列二：傅里叶变换与信噪比

傅里叶变换的提出让人们看问题的角度从时域变成了频域，多了一个维度。快速傅里叶变换算法的提出普及了傅里叶变换在工程领域的应用，在科学计算和数字信号处理等领域，离散傅里叶变换（DFT）至今依然是非常有效的工具之一。

比如下图是一个幅度为1、频率为2Hz的正弦波和它的离散傅里叶变换后的结果。

信噪比（SNR）是信号与噪声的比率，它是衡量通信或模拟系统性能的重要指标之一，与傅里叶变换更是有千丝万缕的联系。在很多情况下，我们是通过傅里叶变换来评估信噪比，如果评估方法不对，很难的到我们期望的结果，经常会事与愿违。

求解SNR的过程，我们是用‘评估SNR’来描述，这就是说我们无法精确计算出SNR，只能进行评估，事实也是如此。

评估SNR的方法分为时域和频域两种。我们以一组离散样本点为分析目标，看下如何评估SNR，及其误区。

时域估计SNR

Xs(n)为信号序列，Xn(n)为噪声序列，则信号X(n)=Xs(n)+Xn(n)，是一组带噪离散序列，在时域上评估X(n)的信噪比公式如下：

其意义为分别求取离散信号、噪声功率和，计算二者之比。这里有个前提是，我们需要分离出信号与噪声，然后才能求解，

然而问题也在于此，对于一段给定的离散时间序列，我们很难完全分离出信号和噪声，所以时域评估SNR是有局限性的，而且不够直观，所以通常我们在频域下求解。

频域估计SNR

在频域上的SNR计算原理和时域很接近，还是求信号功率与噪声功率只比。最简单的方法是在频谱X(m)上设置阈值，阈值之上为信号，阈值之下为噪声。这样就会有阈值设置带来的估计准确性问题，同时信号频带范围内或多或少也会有噪声叠加进来，在频域计算SNR也是一个近似。

SNR以dB作为单位，SNR(dB)=10*log10(SNR)。

我们往往使用Matlab评估SNR，Matlab是非常强大的数学工具，其集成了SNR计算函数，如果应用不正确，误差会非常大，无法得到预期结果，举例如下。

下图是一个幅度为1、频率为2Hz的正弦波和它的离散傅里叶变换后的结果。

用Matlab SNR函数计算计算信噪比的结果如下，蓝色为感兴趣的信号成分，橙色为噪声。这个频域图就可以表征SNR，橙色的噪声数值越小、越低，说明信噪比越高、越好。即使红色圆圈部分有一点噪声，在评估单频率成分信号的SNR时，这依然是一个非常有效的手段。

假如一信号x(n)=sin(4pi*t)+0.5*sin(18pi*t),如下图是一个幅度为1、频率为2Hz的正弦波叠加幅度为0.5、频率为9Hz的正弦波的结果。

用Matlab SNR函数计算计算信噪比的结果如下，蓝色为感兴趣的信号成分，橙色为噪声，matlab舍弃了频率为9Hz、能量少的成分，只计算了2Hz信号的信噪比。

所以倘若我们的感兴趣信号比较复杂，就不能直接用SNR函数直接计算。

所以我们一定要在理解DFT与SNR关系的基础上，正确使用matlab才能得到期望的SNR结果。

在过采样中，信噪比、ADC有效位数、过采样率是有千丝万缕的联系，了解了基本的概念后，我们一步一步理解过采样的原理。