Explication détaillée du triangle Yang hui

 

 
 

  

Triangle Yang hui

Prémisse：Le nombre d'extrémités et de terminaisons par ligne est1.

1. Chaque nombre est égal à la somme des deux nombres au - dessus.

2. Les chiffres de chaque ligne sont symétriques à gauche et à droite,Par 1 Commence à s'agrandir.

3. No n Les chiffres de la ligne sont n Item (s).

4. Avant n Total[(1 + n) * n] / 2 Nombre.

5. No n D'accord. m Le nombre peut être exprimé en C(n - 1,m - 1),De n - 1 De différents éléments m - 1 Nombre de combinaisons d'éléments.

6. No n Ligne m Nombre et n - m + 1Nombre égal ,Est l'une des propriétés du nombre combiné.

7. Chaque chiffre est égal à la somme des deux chiffres de gauche et de droite de la ligne précédente.Utilisez cette propriété pour écrire tout le triangle de Yang hui.C'est - à - dire n + 1 Ligne i Nombre, etc. 8 Par. n Ligne i - 1 Nombre et i La somme des nombres,C'est aussi une des propriétés des nombres combinatoires.C'est - à - dire: C(n + 1, i) = C(n, i) + C(n, i - 1).

8. (a + b) * n Les coefficients de l'expansion de l'équation de (n + 1) Chaque élément de la ligne.

9. De 2n + 1 Ligne 1 Nombre,Avec 2n + 2 Ligne 3 Nombre、No 2n + 3 Ligne 5 Nombre……En ligne, La somme de ces nombres est 4n + 1 Nombre de Fibonacci;De 2n Ligne 2 Nombre(n > 1),Avec 2n - 1 Ligne 4 Nombre、No 2n - 2 Ligne 6 Nombre…… La somme de ces nombres est 4n - 2 Nombre de Fibonacci.
   

10. De n Le nombre de lignes est multiplié par 10^（m-1）,Parmi euxm Est la colonne de ce nombre , Additionnez les éléments comme suit: 11^（n-1）.11⁰ = 1,11¹ = 1 x 10⁰ + 1 × 10¹ = 11,11² = 1 × 10⁰ + 2 x 10¹ + 1 x 10² = 121,11³ = 1 x 10⁰ + 3 × 10¹ + 3 x 10² + 1 x 10³ = 1331,11⁴ = 1 x 10⁰ + 4 x 10¹ + 6 x 10² + 4 x 10³ + 1 x 10⁴ = 14641,11⁵ = 1 x 10⁰ + 5 x 10¹ + 10 x 10² + 10 x 10³ + 5 x 10⁴ + 1 × 10⁵ = 161051.
    

11. No n La somme des chiffres de ligne est2^（n-1）.1 = 2^（1-1）,1 + 1 = 2^（2-1）,1 + 2 + 1 = 2^（3-1）,1 + 3 + 3 + 1 = 2^（4-1）,1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 2^（5-1）,1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 2^（6-1）.
    

12. La somme des nombres sur la barre oblique est égale à gauche（Barre oblique du haut à gauche au bas à droite） Ou tourner à droite （ Barre oblique du haut à droite au bas à gauche ）,Les chiffres au coin.1 + 1 = 2,1 + 1 + 1 = 3,1 + 1 + 1 + 1 = 4,1 + 2 = 3,1 + 2 + 3 = 6,1 + 2 + 3 + 4 = 10,1 + 3 = 4,1 + 3 + 6 = 10,1 + 4 = 5.
    

13. Aligner les numéros de ligne à gauche , Nombre dont la somme des diagonales supérieure droite à inférieure gauche est égale à la séquence Fibonacci .1,1,1 + 1 = 2,2 + 1 = 3,1 + 3 + 1 = 5,3 + 4 + 1 = 8,1 + 6 + 5 + 1 = 13,4 + 10 + 6 + 1 = 21,1 + 10 + 15 + 7 + 1 = 34,5 + 20 + 21 + 8 + 1 = 55.
    

 
 

 
 

 
 

Exemples

Première question

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

int n;

int main(){
    
	scanf("%d", &n);
	int num[50][50];
	num[1][1] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i ++){
    
		for(int j = 1; j <= i; j ++){
    
			if(j == i || j == 1){
    
				num[i][j] = 1;
				printf("%d ", num[i][j]);	
			}
			else{
    
				num[i][j] = num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j];
				printf("%d ", num[i][j]);
			}
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

 
 

 
 

 
 

Deuxième question

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Symétrie trigonométrique de Yang hui （C(a, b) == C(a, a-b)）,Et à cause de la recherche de la première apparition,Donc ça doit être à gauche,La droite peut être effacée directement！

Nature：

1. Chaque barre oblique augmente de haut en bas
2. Chaque ligne diminue du milieu aux deux côtés

Ordre inverse（De16C'est parti.）Utiliser la recherche binaire.

Paramètre dichotomique ：l：2k    r：max(n, l)    n Nombre de recherches pour
L'extrémité droite ne doit pas être plus petite que l'extrémité gauche！
Cas particuliers：Sinon, quand n = 1 Heure,Ça va mal tourner..

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;

int n;

//C(a, b) = a!/b!(a-b)! = a * (a-1) .. b- Oui. / b!
LL C(int a, int b){
    //S'il vous plaît.aLignebValeur de la colonne
	LL cnt = 1;
	for(int i = a, j = 1; j <= b; i --, j ++){
    
		cnt = cnt * i / j;
		if(cnt > n)//Plus grand quenÇa n'a aucun sens, Mets - le sur le super. long long 
			return cnt;
	}
	return cnt;
}

bool check(int k){
    // Deux points pour la diagonale,Trouver le premier nombre supérieur ou égal à cette valeur
	int l = 2 * k, r = max(n, l);
	while(l < r){
    
		int mid = l + r >> 1;
		if(C(mid, k) >= n)
			r = mid;
		else
			l = mid + 1;
	}
	if(C(r, k) != n)
		return false;
	printf("%lld", 1ll * (r + 1) * r / 2 + k + 1);//C(r, k)La valeur séquentielle correspondante est：(r + 1) * r / 2 + k + 1
	return true;
}

int main(){
    
	scanf("%d", &n);
	for(int k = 16; ; k --)
		if(check(k))
			break;
	return 0;
}

 
 

 
 

 
 

Question n° 3

Liens vers les sujets

class Solution {
    
public:
    vector<vector<int>> generate(int numRows) {
    
        vector<vector<int>> num;
        for(int i = 0; i < numRows; i ++){
    
            vector<int> a(i + 1);
            for(int j = 0; j <= i; j ++){
    
                if(j == 0 || i == j)
                    a[j] = 1;
                else
                    a[j] = num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j];
            }
            num.push_back(a);
        }
        return num;
    }
};

 
 

 
 

 
 

Question n° 4

Liens vers les sujets

class Solution {
    
public:
    vector<int> getRow(int rowIndex) {
    
        vector<vector<int>> num;
        for(int i = 0; i <= rowIndex; i ++){
    
            vector<int> a(i + 1);
            for(int j = 0; j <= i; j ++){
    
                if(j == 0 || i == j)
                    a[j] = 1;
                else
                    a[j] = num[i - 1][j - 1] + num[i - 1][j];
            }
            num.push_back(a);
        }
        return num[rowIndex];
    }
};