经典Dijkstra与最长路

前言

有一题求最短路 和最长路的题，由于基础不够扎实，天真地以为改一下松弛操作、重载一下优先队列即可。事实上，经典Dijkstra并不能求最长路。

经典Dijkstra不能求最长路原理

在经典Dijkstra中，根据贪心思想，我们每次使用一个距离源点最短的点A来松弛其他点，并且保证了这个操作每个点只会进行一次，也即每个点有且仅有一次作为点A（除了距离最远的点，因为最后一点被松弛完整个算法就结束了）。

众所周知，迪杰斯特拉的使用条件是图中不存在负边。这是因为在不存在负边权的图中，最短路有子结构，子路径最短能保证总路径最短。根据这一性质，也有了一个结论，上面提到的用来松弛其他点的那个点A，距离源点的距离已经是最短的（这也是Dijsktra每个点只用来松弛一次的前提）。然而，以下两种情况不存在子结构：

• 存在负边权，例如

• 求最长路，例如

在不存在子结构的图中，一个点用来松弛其他点的点，未必已经是最优解。所以，我们可以使用允许多次松弛的算法（SPFA、经典Dijsktra改成允许一个点松弛其他点多次，事实上就应该称为SPFA了）来求最长路。

总结

1. 正权边图中求最长路可使用SPFA
2. 经典Dijsktra可在全负权边图中跑最长路、全正权边图中跑最短路
3. Dijsktra+堆优化的时间复杂度为O(ElogV)、SPFA(Bellman Ford)+堆优化的时间复杂度是O(VE)。