【DP之01背包】

01 背包

• 为什么叫 01 背包？

  因为每一个物品要么用一次，要么不用。

• 状态转移方程：
  $$f[i][j]=Max(f[i-1][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i])$$

• 优化之后状态转义方程：
  $$f[j]=Max(f[j],f[j-v[i]]+w[i])$$

• 分析结果：f[N][v]

详细分析

• 该题目可以看成是一个有限集合求极值的题目。

• emm, 看我的乱糟糟手写笔记吧。

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相关题目

有 NN 件物品和一个容量是 VV 的背包。每件物品只能使用一次。

第 ii 件物品的体积是 vivi，价值是 wiwi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，VN，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。

接下来有 NN 行，每行两个整数 vi,wivi,wi，用空格隔开，分别表示第 ii 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤10000<N,V≤1000
0<vi,wi≤10000<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

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题解代码

• 暴力版本

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
int f[N][N];
int v[N], w[N];

int main() {
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    
        for (int j = 0; j <= m; j ++) {
    
            f[i][j] = f[i - 1][j];
            // printf("i = %d, j = %d, f[%d][%d] = %d, f[%d][%d] = %d\n", i, j, i, j, f[i][j], i - 1, j, f[i - 1][j]);
            if (j >= v[i]) {
    
                f[i][j] = max(f[i][j], f[i - 1][j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 0; i <= m; i ++) {
    
        res = max(res, f[n][i]);
    }

    cout << res << endl;

    return 0;
}

• 优化版本

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m;
// int f[N][N];
int f[N];
int v[N], w[N];

int main() {
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    
        cin >> v[i] >> w[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
    
        for (int j = m; j >= v[i]; j --) {
    
            // 不包含第 i 个物品
            f[j] = f[j];
            if (j >= v[i]) {
    
                // 包含第 i 个物品
                f[j] = max(f[j], f[j - v[i]] + w[i]);
            }
        }
    }
    cout << f[m] << endl;

    return 0;
}

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