用秩讨论线性方程组的解/三个平面的位置关系

用秩讨论三个平面的位置关系/线性方程组的解

线性方程组
下图中三个方程对应三个平面

线性方程组的增广矩阵形式

该方程组有无解，表现为三个平面有无公共交点，有几个解表现于三个平面有几个公共交点

情况一：$r(\bar{A})=r(A)=3$【方程个数3 $=$ 未知数个数3】，方程组有唯一解，三平面交于一点

情况二：$r(\bar{A})=3$，$r(A)=2$，$r(\bar{A})\ge r(A)$，方程组无解【因为$0z_3=d_3$ 无解】，三平面无公共交点，又因 $r(A)=2$ 则必有两平面相交

增广矩阵第3行可能与第1行或第2行成比例，可能不是0，这里写为0只是为了明显地表示秩

三平面无公共交点有两种情况
1.三平面两两相交，但无公共交点，故方程组无解

2.三平面中有两平面相交，另一平面与其中一平面平行，但无公共交点，故方程组无解

情况三：$r(\bar{A})=r(A)=2<n=3$（方程个数2 $<$ 未知数个数n=3 ），方程组有无穷多个解【因为$0z_3=0$】，三平面有无穷多个公共交点，又因 $r(A)=2$ 则必有两平面相交，又因 $r(\bar{A})=2$ 说明三个平面中至少有两个平面互异

增广矩阵第3行可能与第1行或第2行成比例，可能不是0，这里写为0只是为了明显地表示秩

两个平面无公共交点有两种情况
1.两平面相交，另一个平面通过该交线，三平面互异，因三平面交于一线，交线上有无数多个点，故此种情况下方程组有无穷多个解

2.两平面相交，另一个平面与其中一平面重合，两平面互异，因三平面（其中两平面重合）交于一线，交线上有无数多个点，故此种情况下方程组有无穷多个解

情况四：$r(\bar{A})=2$，$r(A)=1$，$r(\bar{A})<r(A)$，方程组无解【因为$0z_2=d_2$无解】，三平面不相交，又因 $r(A)=1$，故没有两个平面相交，因而三平面平行，再因 $r(\bar{A})=2$，故三平面至少两平面互异

增广矩阵第2、3行可能与第1行成比例，可能不是0，这里写为0只是为了明显地表示秩

三平面至少两平面互异有两种情况
1.三平面平行，且三平面互异，三平面无公共交点，故方程组无解

2.三平面平行，其中有两平面重合，同时有两平面互异，三平面（其中两平面重合）无公共交点，故方程组无解

情况五：$r(\bar{A})=r(A)=1<n=3$，方程组有无穷多个解，三平面有无穷多个公共交点。由$r(A)=1$知，没有两平面相交。而 $r(\bar{A})=1$ 说明三个平面中至少有一个平面互异，那有两个情况，2个平面互异或3个平面互异，而这两种情况均与三平面有无穷多个交点相矛盾，故三平面重合

增广矩阵第2、3行可能与第1行成比例，可能不是0，这里写为0只是为了明显地表示秩