Codeforces Round ＃716 (Div. 2)

2021.4.19

A

题意：给你n个数的序列，问你是否存在子序列的乘积不是一个平方数

题解：判断n个数的序列是否都是完全平方数

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
int main()
{
    int n,x,t;
    cin>>t;
    while(t--){
    cin>>n;
    int flag=0;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>x;
        int k=(int)sqrt(x);
        if(k*k!=x)
            flag=1;
    }
    if(flag)
        cout<<"YES"<<endl;
    else
        cout<<"NO"<<endl;
    }
    return 0;
}

B

题意：输入两个数n和k，要求构造一个含n个数的序列，且选择的n个数需要从0~中去选择，要求所有元素按位与为0且所有元素和最大，求可以构造的方案数。

题解：序列需从0~中选择，所以可以看成每个数都可以化成长度为k的二进制数，要求所有元素按位与为0，k位的二进制每一位都要有一个0，这k个0是从n个数中贡献，要求和最大，所以每一位有且只有一个0，其他同位的都要为1，那么每一个0都可以放在n个数的对应位上，每一个0有n个选择，总共有k个0，答案就是%1e9+7。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
ll qpow(ll a,ll b)
{
    ll res=1;
    while(b)
    {
        if(b%2)
            res=res*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b/=2;
    }
    return res;
}
int main()
{
    ll t,n,k;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>k;
        cout<<qpow(n,k)%mod<<endl;
    }
    return 0;
}

C

题意：输入一个数n，从 [1,2,…,n−1]选出长度最长的序列，使得序列的积取余n为1

题解：

裴属定理：对于非负整数a,b,存在x,y使得ax+by=gcd(a,b),也就是说ax+by能构成的最小正整数就是gcd(a,b)，注意(a,b不同时为0)

ax+by=c有解当且仅当c%gcd(a,b)==0,如果gcd(a,b)>1那么c一定大于1,所以gcd(k,n)>1,，所以要求序列的乘积%n=1，需要从gcd(k,n)=1中去找。

令：,这时sum[1,n)，要求求余为1，则ans=sum/sum=1，将乘积里的sum去除掉序列的乘积就是1，这样只需要删除一个数就可得到序列乘积取余n为1。

那为什么sum就一定是在s里呢？

假设没有取模，最后得到的结果ans%n=1，所以ans一定是s里的数乘积得到的，而sum是s里的所有数乘积得到的，ans*x=sum，所以这个x一定是s里的数，也就是上述取模后的sum，所以是可以去从s里去除掉的。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll gcd(ll a,ll b)
{
    return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
int main()
{
    ll n,ans=1,a[100005],l=0;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        if(gcd(i,n)==1){
            a[l++]=i;
            ans=(ans*i)%n;
        }
    }
    if(ans!=1){
    cout<<l-1<<endl;
    for(int i=0;i<l;i++)
        if(a[i]!=ans)
            cout<<a[i]<<' ';
    }
    else{
    cout<<l<<endl;
    for(int i=0;i<l;i++)
        cout<<a[i]<<' ';
    }
    cout<<endl;
    return 0;
}