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高等数学（第七版）同济大学习题3-4 个人解答（后8题）

2022-07-28 03:33:00 【Navigator_Z】

高等数学（第七版）同济大学习题3-4（后8题）

$\begin{aligned}&9. \ 判定下列曲线的凹凸性：&\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=4x-x^2；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=sh\ x；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=x+\frac{1}{x}\ (x \gt 0)；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=xarctan\ x. & \end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=4-2x，y''=-2 \lt 0，所以曲线y=4x-x^2在(-\infty, \ +\infty)内是凸的。\\\\ &\ \ (2)\ y'=ch\ x，y''=sh\ x，令y''=0，得x=0。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当-\infty \lt x \lt 0时，y'' \lt 0，曲线y=sh\ x在(-\infty, \ 0]上是凸的.\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当0 \lt x \lt +\infty时，y'' \gt 0，曲线y=sh\ x在[0, \ +\infty)上是凹的.\\\\ &\ \ (3)\ y'=1-\frac{1}{x^2}，y''=\frac{2}{x^3} \gt 0（x \gt 0），所以曲线y=x+\frac{1}{x}在(0, \ +\infty)内是凹的。\\\\ &\ \ (4)\ y'=arctan\ x+\frac{x}{1+x^2}，y''=\frac{1}{1+x^2}+\frac{1+x^2-x\cdot 2x}{(1+x^2)^2}=\frac{2}{(1+x^2)^2} \gt 0，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以曲线y=xarctan\ x在(-\infty, \ +\infty)内是凹的。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&10. \ 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间：&\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ y=x^3-5x^2+3x+5；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)\ \ y=xe^{-x}；\\\\ &\ \ (3)\ \ y=(x+1)^4+e^x；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (4)\ \ y=ln(x^2+1)；\\\\ &\ \ (5)\ \ y=e^{arctan\ x}；\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (6)\ \ y=x^4(12ln\ x-7). & \end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ y'=3x^2-10x+3，y''=6x-10，令y''=0，得x=\frac{5}{3}，y=\frac{20}{27}.\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当-\infty \lt x \lt \frac{5}{3}时，y'' \lt 0，所以曲线在\left(-\infty, \ \frac{5}{3}\right]上是凸的，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当\frac{5}{3} \lt x \lt +\infty时，y'' \gt 0，所以曲线在\left[\frac{5}{3}, \ +\infty\right)上是凹的，所以，点\left(\frac{5}{3}, \ \frac{20}{27}\right)是拐点。\\\\ &\ \ (2)\ y'=e^{-x}-xe^{-x}=(1-x)e^{-x}，y''=-e^{-x}+(1-x)(-e^{-x})=e^{-x}(x-2)。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y''=0，得x=2，y=\frac{2}{e^2}。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当-\infty \lt x \lt 2时，y'' \lt 0，所以曲线在(-\infty, \ 2]上是凸的，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当2 \lt x \lt +\infty时，y'' \gt 0，所以曲线在(2, \ +\infty)上是凹的，所以，点\left(2, \ \frac{2}{e^2}\right)是拐点。\\\\ &\ \ (3)\ y'=4(x+1)^3+e^x，y''=12(x+1)^2+e^x \gt 0，所以曲线在(-\infty, \ +\infty)内是凹的，曲线没有拐点.\\\\ &\ \ (4)\ y'=\frac{2x}{x^2+1}，y''=\frac{2(x^2+1)-2x \cdot 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-2(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}.令y''=0，得x_1=-1，x_2=1.\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当-\infty \lt x \lt -1时，y'' \lt 0，所以曲线在(-\infty, \ -1]上是凸的，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当-1 \lt x \lt 1时，y'' \gt 0，所以曲线在[-1, \ 1]上是凹的，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当1 \lt x \ +\infty时，y'' \lt 0，所以曲线在[1, \ +\infty)上是凸的。曲线有两个拐点，分别是点(-1, \ ln\ 2)和点(1, \ ln\ 2).\\\\ &\ \ (5)\ y'=\frac{e^{arctan\ x}}{1+x^2}，y''=\frac{-2e^{arctan\ x}\left(x-\frac{1}{2}\right)}{(1+x^2)^2}，令y''=0，得x=\frac{1}{2}，y=e^{arctan\ \frac{1}{2}}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当-\infty \lt x \lt \frac{1}{2}时，y'' \gt 0，所以曲线在\left(-\infty, \ \frac{1}{2}\right]上是凹的，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当\frac{1}{2} \lt x \lt +\infty时，y'' \lt 0，所以曲线在\left[\frac{1}{2}, \ +\infty\right)上凸的。所以点\left(\frac{1}{2}, \ e^{arctan\ \frac{1}{2}}\right)是拐点。\\\\ &\ \ (6)\ y'=4x^3(12ln\ x-7)+x^4 \cdot 12\frac{1}{x}=4x^3(12ln\ x-4)，y''=12x^2(12ln\ x-4)+4x^3\cdot 12\frac{1}{x}=144x^2ln\ x\ (x \gt 0).\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 令y''=0，得x=1，y=-7。当0 \lt x \lt 1时，y'' \lt 0，所以曲线在(0, \ 1]上是凸的，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当1 \lt x \lt +\infty时，y'' \gt 0，所以曲线在[1, \ +\infty)上是凹的，所以点(1, \ -7)是拐点。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&11. \ 利用函数图形的凹凸性，证明下列不等式：&\end{aligned}$

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ \ \frac{1}{2}(x^n+y^n) \gt \left(\frac{x+y}{2}\right)^n\ (x \gt 0，y \gt 0，x \neq y，n \gt 1)；\\\\ &\ \ (2)\ \ \frac{e^x+e^y}{2} \gt e^{\frac{x+y}{2}}\ (x \neq y)；\\\\ &\ \ (3)\ \ xln\ x+yln\ y \gt (x+y)ln\ \frac{x+y}{2}\ (x \gt 0，y \gt 0，x \neq y). & \end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ (1)\ 取f(t)=t^n，t \in (0, \ +\infty)。f'(t)=nt^{n-1}，f''(t)=n(n-1)t^{n-2}，t \in (0, \ +\infty)。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 当n \gt 1时，f''(t) \gt 0，t \in (0, \ +\infty)。所以f(t)在(0, \ +\infty)内图形是凹的，对任何x \gt 0，y \gt 0，x \neq y，恒有\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}[f(x)+f(y)] \gt f\left(\frac{x+y}{2}\right)，即\frac{1}{2}(x^n+y^n) \gt \left(\frac{x+y}{2}\right)^n\ (x \gt 0，y \gt 0，x \neq y，n \gt 1).\\\\ &\ \ (2)\ 取f(t)=e^t，t \in (-\infty, \ +\infty)，f'(t)=e^t，f''(t)=e^t \gt 0，t \in (-\infty, \ +\infty)。\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以f(t)在(-\infty, \ +\infty)内图形是凹的，对任何x, y \in (-\infty, \ +\infty)，x \neq y，恒有\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}[f(x)+f(y)] \gt f\left(\frac{x+y}{2}\right)，即\frac{e^x+e^y}{2} \gt e^{\frac{x+y}{2}}\ (x \neq y)\\\\ &\ \ (3)\ 取f(t)=tln\ t，t \in (0, \ +\infty)，f'(t)=ln\ t+1，f''(t)=\frac{1}{t} \gt 0，t \in (0, \ +\infty)，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ 所以f(t)在(0, \ +\infty)内图形是凹的，对任何x, y \in (0, \ +\infty)，x \neq y，恒有\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \frac{1}{2}[f(x)+f(y)] \gt f\left(\frac{x+y}{2}\right)，即\frac{1}{2}(xln\ x+yln\ y) \gt \frac{x+y}{2}ln\frac{x+y}{2}，\\\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ xln\ x+yln\ y \gt (x+y)ln\ \frac{x+y}{2}\ (x \gt 0，y \gt 0，x \neq y) & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&12. \ 试证明曲线y=\frac{x-1}{x^2+1}有三个拐点位于同一直线上。&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ y'=\frac{(x^2+1)-2x(x-1)}{(x^2+1)^2}=\frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}，\\\\ &\ \ y''=\frac{(-2x+2)(x^2+1)^2-2(x^2+1)\cdot 2x(-x^2+2x+1)}{(x^2+1)^4}=\frac{2x^3-6x^2-6x+2}{(x^2+1)^3}=\frac{2(x+1)[x-(2-\sqrt{3})][x-(2+\sqrt{3})]}{(x^2+1)^3}\\\\ &\ \ 令y''=0，得x_1=-1，x_2=2-\sqrt{3}，x_3=2+\sqrt{3}，y_1=-1，y_2=\frac{1-\sqrt{3}}{4(2-\sqrt{3})}，y_3=\frac{1+\sqrt{3}}{4(2+\sqrt{3})}\\\\ &\ \ 当-\infty \lt x \lt -1时，y'' \lt 0，所以曲线在(-\infty, \ -1]上是凸的，\\\\ &\ \ 当-1 \lt x \lt 2-\sqrt{3}时，y'' \gt 0，所以曲线在[-1, \ 2-\sqrt{3}]上是凹的，\\\\ &\ \ 当2-\sqrt{3} \lt x \lt 2+\sqrt{3}时，y'' \lt 0，所以曲线在[2-\sqrt{3}, \ 2+\sqrt{3}]上是凸的，\\\\ &\ \ 当2+\sqrt{3} \lt x \lt +\infty时，y'' \gt 0，所以曲线在[2+\sqrt{3}, \ +\infty)上是凹的，\\\\ &\ \ 所以曲线有三个拐点，为(-1, \ -1)，\left(2-\sqrt{3}, \ \frac{1-\sqrt{3}}{4(2-\sqrt{3})}\right)，\left(2+\sqrt{3}, \ \frac{1+\sqrt{3}}{4(2+\sqrt{3})}\right)\\\\ &\ \ 因\frac{\frac{1-\sqrt{3}}{4(2-\sqrt{3})}-(-1)}{2-\sqrt{3}-(-1)}=\frac{\frac{1+\sqrt{3}}{4(2+\sqrt{3})}-(-1)}{2+\sqrt{3}-(-1)}=\frac{1}{4}，所以三个拐点在一条直线上。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&13. \ 问a、b为何值时，点(1, \ 3)为曲线y=ax^3+bx^2的拐点。&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ y'=3ax^2+2bx，y''=6ax+2b=6a\left(x+\frac{b}{3a}\right)，令y''=0，得x=-\frac{b}{3a}，\\\\ &\ \ 当-\infty \lt x \lt -\frac{b}{3a}时，y'' \lt 0，所以曲线在\left(-\infty, \ -\frac{b}{3a}\right]上是凸的，\\\\ &\ \ 当-\frac{b}{3a} \lt x \lt +\infty时，y'' \gt 0，所以曲线在\left[-\frac{b}{3a}, \ +\infty\right)上是凹的，\\\\ &\ \ 当x=-\frac{b}{3a}时，y=a\left(-\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(-\frac{b}{3a}\right)^2=\frac{2b^3}{27a^2}.因为y''在x的两侧不同号，所以点\left(-\frac{b}{3a}, \ \frac{2b^3}{27a^2}\right)是曲线的拐点。\\\\ &\ \ 要使点(1, \ 3)为拐点，则-\frac{b}{3a}=1，\frac{2b^3}{27a^2}=3，解得a=-\frac{3}{2}，b=\frac{9}{2}. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&14. \ 试决定曲线y=ax^3+bx^2+cx+d中的a、b、c、d，使得x=-2处曲线有水平切线，(1, \ -10)为拐点，\\\\&\ \ \ \ \ \ 且点(-2, \ 44)在曲线上。&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ y'=3ax^2+2bx+c，y''=6ax+2b，根据题意，有y(-2)=44，y'(-2)=0，y(1)=10，y''(1)=0，\\\\ &\ \ 即\begin{cases}-8a+4b-2c+d=44，\\\\12a-4b+c=0，\\\\a+b+c+d=-10，\\\\6a+2b=0.\end{cases}\\\\ &\ \ 解方程得a=1，b=-3，c=-24，d=16. & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&15. \ 试决定y=k(x^2-3)^2中k的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ y'=2k(x^2-3)\cdot 2x=4kx(x^2-3)，y''=4k(x^2-3)+4kx \cdot 2x=12kx(x-1)(x+1).\\\\ &\ \ 令y''=0，得x_1=-1，x_2=1，y_1=4k，y_2=4k。\\\\ &\ \ 当-\infty \lt x \lt -1时，y'' \gt 0，所以曲线在(-\infty, \ -1]上是凹的，\\\\ &\ \ 当-1 \lt x \lt 1时，y'' \lt 0，所以曲线在[-1,\ 1]上是凸的，\\\\ &\ \ 当1 \lt x \lt +\infty时，y'' \gt 0，所以曲线在[1, \ +\infty)上时凹的，所以点(-1, \ 4k)和(1, \ 4k)是曲线的拐点。\\\\ &\ \ 当x=-1时，y'=8k，所以过点(-1, \ 4k)的法线方程为Y-4k=-\frac{1}{8k}(X+1)。\\\\ &\ \ 要使法线过原点，则点(0, \ 0)满足法线方程，得k=\pm \frac{\sqrt{2}}{8}\\\\ &\ \ 当x=1时，y'=-8k，所以过点(1, \ 4k)的法线方程为Y-4k=\frac{1}{8k}(X-1)。\\\\ &\ \ 要使法线过原点，则点(0, \ 0)满足法线方程，得k=\pm \frac{\sqrt{2}}{8}，所以当k=\pm \frac{\sqrt{2}}{8}时，曲线的拐点处的法线通过原点。 & \end{aligned}$

$\begin{aligned}&16. \ 设y=f(x)在x=x_0的某邻域内具有三阶连续导数，如果f''(x_0)=0，而f'''(x_0) \neq 0，\\\\&\ \ \ \ \ \ 试问(x_0, \ f(x_0))是否为拐点？为什么？&\end{aligned}$

解：

$\begin{aligned} &\ \ 已知f'''(x_0) \neq 0，假设f'''(x_0) \gt 0，因为f'''(x_0)在x=x_0的某个邻域内连续，因此必定存在\delta \gt 0，\\\\ &\ \ 当x \in (x_0-\delta, \ x_0+\delta)时，f'''(x_0) \gt 0，所以在(x_0-\delta, \ x_0+\delta)内f''(x)单调增加，\\\\ &\ \ 又因为f''(x_0)=0，所以当x \in (x_0-\delta, \ x_0)时，f''(x) \lt f''(x_0)=0，则f(x)在(x_0-\delta, \ x_0)内的图形是凸的，\\\\ &\ \ 当x \in (x_0, \ x_0+\delta)时，f''(x) \gt f''(x_0)=0，则f(x)在(x_0, \ x_0+\delta)内的图形是凹的，所以点(x_0, \ f(x_0))是曲线的拐点。 & \end{aligned}$