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数学知识复习：第二型曲线积分

2022-06-30 10:03:00 【UQI-LIUWJ】

0 引出

设一质点在力F的作用下，沿曲线C运动，力F在曲线C的各点处的方向和大小可以是不同的，F(x,y)是一个向量函数，那么如何计算这个质点在变力F的作用下，沿曲线C由点A运动到点B所做的功呢？

$\widehat{AB}$ 弧上从A到B依次取点 $M_0(=A),M_1,\cdots,M_{n}(=B)$ ，于是 $\widehat{AB}$ 被分割成n段小弧 $\widehat{M_{i-1}M_i}$ .

我们先考虑力F沿着小弧 $\widehat{M_{i-1}M_i}$ 运动所做的功 $\Delta W_i$ 。在小弧 $\widehat{M_{i-1}M_i}$ 上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$ ，以 $(\xi_i,\eta_i)$ 处的力F $(\xi_i,\eta_i)$ 作为小弧 $\widehat{M_{i-1}M_i}$ 上各点的力。同时近似地认为小弧 $\widehat{M_{i-1}M_i}$ 是直线段 $\overrightarrow{M_{i-1}M_i}$ 。
我们以内积 F $(\xi_i,\eta_i)$ · $\overrightarrow{M_{i-1}M_i}$ 作为力F沿着小弧 $\widehat{M_{i-1}M_i}$ 运动所做的功 $\Delta W_i$ 的近似式。
所以和式 $\sum_{i=1}^n F(\xi_i,\eta_i) \cdot \overrightarrow{M_{i-1}M_i}$ 是所求功W的近似值。

如果F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j, M_i=(x_i,y_i) ,那么 $\overrightarrow{M_{i-1}M_i}=\Delta x_i i+\Delta y_ij$ ，其中 $\Delta x_i=x_i-x_{i-1}, \Delta y_i=y_i-y_{i-1}$

所以 $\sum_{i=1}^n F(\xi_i,\eta_i) \cdot \overrightarrow{M_{i-1}M_i}=\sum_{i=1}^n [P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i]$

1 定义

2 性质

（1）F，G在 $\widehat{AB}$ 上连续，a,b是常数，则有 $\int_{\widehat{AB}}[aF+bG]\cdot ds=a\int_{\widehat{AB}}F\cdot ds+b\int_{\widehat{AB}}G\cdot ds$

（2）如果曲线 $\widehat{AB}$ 上一点C将积分路线 $\widehat{AB}$ 分成两段 $\widehat{AC}$ , $\widehat{CB}$ ,则 $\int_{\widehat{AB}}F\cdot ds=\int_{\widehat{AC}}F\cdot ds+\int_{\widehat{CB}}F\cdot ds$

（3） $\int_{\widehat{AB}}F\cdot ds=-\int_{\widehat{BA}}F\cdot ds$

3 计算方法

也是转化成定积分

如果曲线C的参数方程是 $x=\varphi(t),y=\phi(t)$ ，当参数t从α变到β时，点(x,y)从A变到B（此时不一定α比β小！）；同时 $\varphi'(t),\phi(t)$ 在α和β之间连续，F在 $\widehat{AB}$ 上连续（即P,Q在 $\widehat{AB}$ 上连续）
则第二型曲线积分 $\int_{\widehat{AB}}F\cdot ds=\int_{\widehat{AB}}P\cdot dx+\int_{\widehat{AB}}Q\cdot dy$ 可以转化为
$\int_\alpha^\beta[P(\varphi(t),\phi(t))\varphi'(t)+Q(\varphi(t),\phi(t))\phi'(t)]dt$