根心与根轴

例题 2.1.1 在凸五边形 中，，， 为五边形内一点，使得 ，，证明：

证法一：

由射影定理，，

故是与的根轴

而的圆心在线段上，所以

证法二：

故是与的根轴

而与的连心线平行于，所以

例题 2.1.2 在 中， < ，点 分别是边 的中点 的内切圆圆心为 ，且与边 相切与点 ，直线 经过线段 的中点且与 垂直，与直线 交于点 ，证明：

证：

记 的外接圆为圆 ，记以 为圆心， 为半径的圆为圆

易知圆 的圆心为 的外接圆中 的中点

由对称性， 分别于 关于直线 对称

因此，点 在圆 与圆 的根轴上，类似地，点 也在这两圆根轴上

从而直线 即为这两个圆的根轴

又因为直线 是点圆 与圆 的根轴

故点 是点圆 ，圆 ，圆 的根心，直线 即为点圆 与圆 的根轴

而事实上，点圆 与圆 的根轴为圆 在点 处的切线，与 垂直

所以