Gram 矩阵

关于 Gram 矩阵

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n 维欧式空间中任意 k 个向量之间两两内积所组成的矩阵，称为这 k 个向量的 Gram 矩阵。

向量内积公式：$$\vec{a}\cdot \vec{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i$$所以 Gram 矩阵的公式就是：$$Gram({\vec{a}}_1\cdots {\vec{a}}_k)=\left(\begin{array}{ccc}({\vec{a}}_1\cdot {\vec{a}}_1)& \cdots & ({\vec{a}}_1\cdot {\vec{a}}_k)\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ ({\vec{a}}_k\cdot {\vec{a}}_1)& \cdots & ({\vec{a}}_k\cdot {\vec{a}}_k)\end{array}\right)$$
可以看出，Gram 矩阵是一个对称矩阵。

Gram 矩阵可以看作是数据之间的偏心协方差矩阵（即没有减去均值的协方差矩阵，关于协方差矩阵可以看这篇文章）

Gram 矩阵的应用

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对于一组特征，我们计算它的 Gram 矩阵，可以反映出特征两两之间的相关性。对角线上的元素可以理解为该特征的信息，其余元素则提供了不同特征相关性信息，这样一个矩阵既能体现出有哪些特征，又能反映出不同特征之间的紧密程度。

Gram 矩阵最直接的应用是在图像风格迁移领域。对于一张图片，我们想要提取它的风格，就需要使用网络提取局部纹理特征、图像轮廓等信息，然后计算 Gram 矩阵，就可以找出特征之间的相关性，这个计算出的 Gram 矩阵就反映了图像的风格。此时如果要比较两张图片之间的风格相似程度，只需要比较它们的 Gram 矩阵，若 Gram 矩阵的差异较小，则可以认为两张图像风格相近。