3D数学 - 矢量

矢量

Vector 在物理上被称为 矢量，在数学上被称为向量。

矢量的定义：是一个既有大小又有方向的量。

表示方式有两种，选一种即可，如下
$$\begin{gathered} 行向量:\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& a_2& a_3\end{array}\right] \\ 列向量:\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

在 Unity 中矢量为 Position（位置），它既可以是一个点，用来表示位置，也可以是一个从原点指向某个位置的矢量。

提示：在数学上点和矢量是等价的

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零矢量
$$\vec{0}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]$$
零矢量是一个唯一没有方向的矢量，且大小为0。

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负矢量
$$-\vec{v}=-\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-a_1& -a_2& \cdots & -a_n\end{array}\right]$$
负矢量是产生的是大小相等但方向相反的矢量

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标量 与 矢量 的 关系

标量即一个数，它们不可以直接和矢量相加，但可以和矢量相乘。(k 为标量)
$$k\vec{v}=k\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}k{a}_1& k{a}_2& \cdots & k{a}_n\end{array}\right]$$
相乘的结果还是矢量

• k > 0 时，方向不变，大小变为原来的 |k| 倍
• k = 0 时，变成零矢量
• k < 0 时，方向相反，大小变为原来的 |k| 倍

结论：k > 0 方向不变，k < 0 方向相反。大小为原来的 |k| 倍。

在实际开发中，我们经常使用标量与单位矢量相乘，以获得某个方向的对应大小的矢量

标量的除法与乘法类似，不再赘述

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矢量大小

矢量的大小也称矢量的长度，即计算矢量从原点到目标位置的距离。
$$\Vert \begin{array}{c}\vec{v}\end{array}\Vert =\sqrt{\sum _{i=1}^n{a}_i^2}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2}$$

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单位矢量

单位矢量是大小为 1 的矢量，**它们在不代表矢量的大小，只代表矢量的方向。**也称归一化向量。
$$\hat{v}=\frac{\vec{v}}{\Vert \begin{array}{c}\vec{v}\end{array}\Vert }$$

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矢量加法 和 减法

矢量之间是可以加减的。

加法：
$$\vec{a}+\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{a}_1+b_1\\ a_2+b_2\\ \cdots \\ a_n+b_n\end{array}\right]$$
矢量相加是满足交换律。且矢量相加的几何意义非常重要。它们不仅仅是值的相加。更重要的是，获得一个矢量 a 以 矢量 b 的方向延申了矢量 b 的大小的矢量。且矢量加法满足三角形法则。

加法非常常用，它们经常用于矢量的移动（如向某个方向走多少距离的情况）

减法：
$$\vec{a}-\vec{b}=\left[\begin{array}{c}{a}_1-b_1\\ a_2-b_2\\ \cdots \\ a_n-b_n\end{array}\right]$$
矢量减法是不满足交换律的，也就是说 a - b 和 b - a 是几何意义是不一样的。

a - b 的几何意义是获得一个 b 指向 a 的矢量，且矢量大小就是 a 与 b 的距离，矢量方向就是 b 指向 a 的方向

相反，b - a 的几何意义是获得获得一个 a 指向 b 的矢量，且矢量大小就是 a 与 b 的距离，矢量方向就是 a 指向 b 的方向。

减法经常用于求两个位置的距离，或者是获得两个位置的相对方向。

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矢量的 点积 和 叉积

矢量间的乘法有两种，一种是 点积，一种是 叉积。它们之间最重要的区别是，点积的值是标量，叉积的值是矢量。

点积：
$$\begin{gathered} \vec{a}\cdot \vec{b}=\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n=\Vert \begin{array}{c}\vec{a}\end{array}\Vert \Vert \begin{array}{c}\vec{b}\end{array}\Vert \cos \theta \\ \theta 为它们之间的夹角 \end{gathered}$$
点积的几何意义很重要，我们将重点阐述

首先是 投影，作为点积中最重要的特性，通过点积可以轻松求出一个矢量相对于另一个矢量的投影大小。$\vec{a}\cdot \hat{b}$ 相对于 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影的大小。
$$\vec{a}\cdot \hat{b}=\Vert \begin{array}{c}\vec{a}\end{array}\Vert \cos \theta$$
投影获得的是标量，也就是投影的大小，如果想获得投影的矢量，可以在乘以单位矢量。如下
$$\begin{gathered} k=\vec{a}\cdot \hat{b}=\Vert \begin{array}{c}\vec{a}\end{array}\Vert \cos \theta \\ \vec{v}=k\hat{b} \end{gathered}$$
上述我们求出的是矢量 a 相对于 矢量 b 上的 水平矢量。我们还可以求矢量 a 相对于矢量 b 的 垂直矢量
$$\begin{gathered} \vec{a}=a_{\parallel }+a_{\perp } \\ \text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$

$$a_{\parallel }=(\vec{a}\cdot \hat{b})\hat{b}\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$\begin{array}{rl}{a}_{\perp }& =\vec{a}-a_{\parallel }\\ & =\vec{a}-(\vec{a}\cdot \hat{b})\hat{b}\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$

这个求水平和垂直投影的公式非常有用。

其次点积还可以粗略判断角度

• $\vec{a}\cdot \vec{b}$ > 0 为锐角
• $\vec{a}\cdot \vec{b}$ = 0 为直角
• $\vec{a}\cdot \vec{b}$ < 0 为钝角

还有一个非常重要的特性是可以求两个向量之间的角度
$$\theta =\arccos \frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{\Vert \begin{array}{c}\vec{a}\end{array}\Vert \Vert \begin{array}{c}\vec{b}\end{array}\Vert }$$
它可以简化成
$$\theta =\arccos (\hat{a}\cdot \hat{b})$$
叉积（三维）：
$$\vec{a}\times \vec{b}=\left[\begin{array}{ccc}i& x_1& x_2\\ j& y_1& y_2\\ k& z_1& z_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}(y_1{z}_2-y_2{z}_1)i\\ (z_1{x}_2-z_2{x}_1)j\\ (x_1{y}_2-x_2{y}_1)k\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{y}_1{z}_2-y_2{z}_1\\ z_1{x}_2-z_2{x}_1\\ x_1{y}_2-x_2{y}_1\end{array}\right]$$

$$i=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\end{array}\right]j=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\end{array}\right]k=\left[\begin{array}{ccc}0& 0& 1\end{array}\right]$$

叉积所得结果为矢量，其获得的矢量为**两个矢量组成的平面的法向量。**这也是叉积最重要的用途，获得两个矢量组成平面的法向量。

叉积的其他公式
$$\Vert \begin{array}{c}\vec{a}\times \vec{b}\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{c}\vec{a}\end{array}\Vert \Vert \begin{array}{c}\vec{b}\end{array}\Vert \sin \theta$$
这个公式求的是两个矢量组成的四边形的面积。不过用的比较少。

叉积可以使用右手定则来判断法向量的方向。

同理，可以通过法向量来判断两个矢量是顺时针，还是逆时针