哈夫曼树（最优二叉树）

哈夫曼树（最优二叉树）：树的带权路径长度最小（树的带权路径是指根节点到各个叶子结点的步长*权值之和），这样的二叉树是哈夫曼树，又叫做最优二叉树。

引入一个情景：将n堆果子堆成一堆，每堆一次消耗掉同等果子质量的体力，求怎么堆这些果子，使得消耗的体力最小，这样的问题就是一颗哈夫曼树，其叶子结点就是果子的质量（就像一个个果堆堆在最后面），非叶子结点就是其子结点质量之和，即消耗的体力，根节点就是果子质量之和，即果堆的质量，因为每次合并两个果子消耗两个果堆的质量，所以最后消耗的体力就是各个非叶子结点之和。

由此可见，这样的情景下的二叉树树不止一颗，因为叶子结点的父结点的左右孩子是可以交换的，所以可以有多颗哈夫曼树，但是树的最小带权路径肯定是唯一的，因为建造哈夫曼树都是最小的两个合并，有点贪心算法的意思，每一步最小从而达到结果最小。

哈夫曼树的特性：不存在度数为1的结点（度数，其子结点的个数）,权值越高的结点越靠近根节点。

构造哈夫曼树：

思路：反复选择两个最小的元素，合并，直到只剩下一个元素，使用优先队列（即堆结构）来实现
 

例题：

合并果子

　　在一个果园里，多多已经将所有的果子打了下来，而且按果子的不同种类分成了不同的堆。多多决定把所有的果子合成一堆。每一次合并，多多可以把两堆果子合并到一起，消耗的体力等于两堆果子的重量之和。可以看出，所有的果子经过n-1次合并之后，就只剩下一堆了。多多在合并果子时总共消耗的体力等于每次合并所耗体力之和。

　　因为还要花大力气把这些果子搬回家，所以多多在合并果子时要尽可能地节省体力。假定每个果子重量都为1，并且已知果子的种类数和每种果子的数目，你的任务是设计出合并的次序方案，使多多耗费的体力最少，并输出这个最小的体力耗费值。
　　例如有3种果子，数目依次为1，2，9。可以先将1、2堆合并，新堆数目为3，耗费体力为3。接着，将新堆与原先的第三堆合并，又得到新的堆，数目为12，耗费体力为12。
所以多多总共耗费体力=3+12=15。可以证明15为最小的体力耗费值。

输入

　　输入包括两行，第一行是一个整数n(1<＝n<=10000)，表示果子的种类数。
　　第二行包含n个整数，用空格分隔，第i个整数ai(1<＝ai<=20000)是第i种果子的数目。

输出

　　输出包括一行，这一行只包含一个整数，也就是最小的体力耗费值。输入数据保证这个值小于2^31。

样例输入 Copy

3
1 2 9

样例输出 Copy

15

代码：
 

//哈夫曼树的建立；
#include<iostream>
#include<queue> 
using namespace std;

priority_queue<long long , vector<long long >, greater<long long> > q;//优先队列 
//优先队列的知识：优先队列是用堆实现的
//可以通过greater这样优先级设定来实现内部排序，long long 是队列内的元素类型，vector<long long >是优先队列底层heap实现的容器; 
int main ( ){
	int n;
	long long temp, x, y,ans = 0;
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 0; i < n; i++) {
		scanf("%lld", &temp);
		q.push(temp);
	}
	
	while(q.size() > 1) {//哈夫曼树的建立，队内两最小值两两合并，直到只剩一个元素; 
		x = q.top( );//priority_queue只能用top访问优先最高的队首元素，不能使用front和back访问；
		q.pop( );
		y = q.top( ); 
		q.pop( );
		q.push(x + y);//合并;
		ans += x + y;   
	}
	printf("%lld", ans);
	return 0;
}