20211104 为什么相似矩阵的迹相同

设 $\mathbf{A}={\left(a_{ij}\right)}_{m\times n},\mathbf{B}={\left(b_{ij}\right)}_{n\times m}$, 则 $\mathrm{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\mathrm{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A})$；
则知道$\mathbf{P}$是非奇异矩阵
$$\mathrm{tr}(\mathbf{B})=\mathrm{tr}\left({\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}\right)=\mathrm{tr}\left({\mathbf{A}\mathbf{P}\mathbf{P}}^{-1}\right)=\mathrm{tr}(\mathbf{A})$$

多提一句，$\mathbf{A}\mathbf{B}$和$\mathbf{B}\mathbf{A}$的非零特征值相同，证明过程如下
https://blog.csdn.net/Europe233/article/details/86727078

另外，相似矩阵的特征值相同

https://www.zhihu.com/question/437714477/answer/1658995521