【Matlab】矩阵变换与矩阵求值

矩阵变换与矩阵求值

对角矩阵：只有对角线上有非零元素的矩阵。

数量矩阵：对角线上的元素相等的对角矩阵。

单位矩阵：对角线上的元素都为1的对角矩阵。

diag函数

提取矩阵的对角线元素

diag(A)：提取矩阵A主对角线元素，产生一个列向量。

diag(A,k)：提取矩阵A第k条对角线的元素，产生一个列向量。

构造对角矩阵

diag(V)：以向量V为主对角线元素，产生对角矩阵。

diag(V,k)：以向量V为第k条对角线元素，产生对角矩阵。

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上三角阵：矩阵的对角线以下的元素全为零的矩阵。

下三角阵：对角线以上的元素全为零的矩阵。

triu函数与tril函数

triu(A)：提取矩阵A的主对角线及以上的元素。

triu(A,k)：提取矩阵A的第k条对角线及以上的元素。

得到的矩阵与原矩阵A同型，未被提取的元素所在位置为0。

在MATLAB中，提取矩阵A的下三角矩阵的函数是tril，其用法与triu函数完全相同。

转置

在矩阵后加单引号'实现转置。会这一种用法即可。

旋转

rot90(A,k)：将矩阵A逆时针方向旋转90°的k倍，当k为1时可省略。

翻转

fliplr(A)：对矩阵A实施左右翻转。

flipud(A)：对矩阵A实施上下翻转。

通过翻转可以实现分别求主副对角线之和。

inv函数

求逆矩阵，一般用于解线性方程组。

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det函数

把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值。
det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。

rank函数

矩阵线性无关的行数或列数称为矩阵的秩。

rank(A)：求矩阵A的秩。

for i = 3:20
    r(i) = rank(magic(i));
end
bar(r) % 柱状图，索引为x轴坐标，值为y轴坐标
grid on % 生成网格
axis([2, 21, 0, 20]) % 设置xy轴范围

没用的结论：

奇数阶魔方阵秩为n，即奇数阶魔方阵是满秩矩阵。

一重偶数阶魔方阵秩为n/2+2( n是2的倍数，但非4的倍数）。

双重偶数阶魔方阵秩均为3（阶数是4的倍数)。

axis的常见用法参考

1. axis( [xmin xmax ymin ymax] )

   设置当前坐标轴 x轴 和 y轴的限制范围

2. axis off

   去掉坐标轴

3. V=axis

   返回包含当前坐标范围的一个行向量

4. axis ij

   将坐标轴设置为矩阵模式。此时水平坐标轴从左到右取值，垂直坐标从上到下

5. axis equal

   设置屏幕高宽比，使得每个坐标轴的具有均匀的刻度间隔

6. axis square

   将坐标轴设置为正方形

trace函数

矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。
trace(A)：求矩阵A的迹。

trace(A) 
sum(diag(A))
% 二者等价

eig函数

E=eig(A)∶求矩阵A的全部特征值，构成向量E。
[X,D]=eig(A)∶求矩阵A的全部特征值，构成对角阵D，并产生矩阵X，X各列是相应的特征向量。

A = [1 1 0; 1 0 5; 1 10 2];
[X D] = eig(A)

结果如下：

X =

    0.0722    0.9751    0.0886
    0.5234   -0.0750   -0.6356
    0.8490   -0.2089    0.7669

D =

    8.2493         0         0
         0    0.9231         0
         0         0   -6.1723

D中的主对角线上的数为特征值，每一列的特征值对应的特征向量为X中的同列元素。

即，8.2493对应的特征向量为(0.0722 0.5234 0.8490)。

验证如下：

A = [1 1 0; 1 0 5; 1 10 2];
[X D] = eig(A);
D = ones(length(D)) * D
roundn(A*X, -4) == roundn(D.*X, -4)

结果如下：

D =

    8.2493    0.9231   -6.1723
    8.2493    0.9231   -6.1723
    8.2493    0.9231   -6.1723

ans =

  3×3 logical 数组

   1   1   1
   1   1   1
   1   1   1

先将D的每一列元素都设置为所在列对应的特征值，让D方阵左乘一个全1方阵即可。

根据特征值和特征向量的定义，$Ax=\lambda x$；

左侧：将A方阵与X矩阵进行矩阵乘法，即*；

右侧：将新得到的D矩阵与X矩阵对应位置相乘，即.*；

判断二者对应位置是否相等即可。

但需要注意，二者计算得到的都是浮点数，存在一定的精度误差，所以直接判等是不相等的，因此我们保留小数点后四位，再进行判等，得到全1的逻辑矩阵。

roundn函数讲解

roundn函数是四舍五入函数，调用格式为：roundn(number, n)或roundn(A, n)。其中number和A分别表示数字和由数字构成的矩阵，n表示要保留的位数，当n为正数时表示四舍五入保留到小数点前第几位，当n为负数时表示四舍五入保留到小数点后第几位。