最低通行费

题目描述

一个商人穿过一个 $N\times N$ 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 1 个小方格，都要花费 1 个单位时间。

商人必须在 $(2N-1)$ 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 $N$。

后面 $N$ 行，每行 $N$ 个不大于 100 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

$1\le N\le 100$

样例

输入样例

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例

109

样例解释

样例中，最小值为 109=1+2+5+7+9+12+19+21+33。

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思路

本题和数字三角形类型相似，但是有一点不同，是求$最小值$，所以需要考虑初始化的状态以及状态转移时的越界判断

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C++ 代码

#include <iostream>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 110, INF = 1e9;

int a[N][N], f[N][N];
int n;

int main()
{
    scanf("%d", &n);

    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
            scanf("%d", &a[i][j]);

    // 初始化为正无穷
    memset(f,0x3f,sizeof f);            
    for (int i = 1; i <= n; i ++)
        for (int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if (i == 1 && j == 1) f[i][j] = a[i][j];
            else f[i][j] = min(f[i - 1][j], f[i][j - 1]) + a[i][j]; 
        }

    printf("%d", f[n][n]);

    return 0;
}