点在多边形内外的判断

备注：

射线法参考1，

转角法代码来源，

图1来源

主要依据《算法竞赛入门经典训练指南》的思路，2020.7.4

射线法和转角法适用于所有多边形

一、射线法：

从这一点出发，引向无穷远点的一条射线，根据交点情况确定点的位置

优点：简单，算法竞赛中常用

缺点：如果多边形是弧形的，不能用下面的那个代码

算法：

1. 以要判断的点为起点，任做一条射线，计算该射线与多边形的交点的数
2. 若有偶数个交点，则点在多边形外；否则，点在多边形内
3. 若与线段所在的端点处重合或相交，则要进行复杂的判断；此时可另取一条射线

如下是《算法竞赛入门经典训练指南》的代码

const double eps=1e-8;
int dcmp(double x)
{
    if(fabs(x)<eps)return 0;
    else return x<0?-1:1;
}

int isPointInPolygon(Point p,Polygon poly )
{
    int wn=0;
    int n=v.size();
    for(int i=0;i<n;++i){
        if(isPointonSegment(p,poly[i],poly[(i+1)%n]))return -1;
        int k=dcmp(Cross(poly[i+1]%n-poly[i],p-poly[i]));
        int d1=dcmp(poly[i].y-p.y);
        int d2=dcmp(poly[(i+1)%n].y-p.y);
        if(k>0 && d1<=0 &&d2>0)wn++;  //如果边与射线的右端相交
        if(k<0 && d1>0  &&d2<=0)wn--;  //如果边与射线的左端相交
    }
}

代码采用的是射线法，令这条射线为向右，那么它的负方向就是想做，如果交点在右边，交点数就加价，如果交点在左边，交点数减减。再看下面细分析。

计算射线与多边形的交点，那要先排除没有交点的情况，以图表示则为

而（除去点在边上）有交点的情况就是

这也是代码最后两句的思路。

二、转角法：

计算多边形每条边的转角，最后相消为0，则点在多边形内部，否则点在多边形外部

优点：即使多边形的边是弧形的，此算法也不受影响

缺点：需要计算大量的反三角函数，不仅速度慢，而且容易产生精度误差。

算法：

1. 把多边形每条边的转角加起来：如果是360度，则点在多边形内；如果是0度，点在多边形外；如果是180度，则点在多边形边上；

2. 直接求角度要用反三角函数，精度差且费时

3. 如果是凸多边形，就用叉积

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
 
using namespace std;
 
const int maxn=110;
const double pi=3.1415926;
 
struct point{
    double x,y;
};
point poly[maxn];
 
int n,q;
 
double ang(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
    double ans=x1*x2+y1*y2;
    double base=sqrt(x1*x1+y1*y1)*sqrt(x2*x2+y2*y2);
    ans/=base;
    return acos(ans);
}
 
int inpolygon(point p)
{
    double angle=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        double x1=poly[i].x-p.x;
        double y1=poly[i].y-p.y;
        double x2=poly[(i+1)%n].x-p.x;
        double y2=poly[(i+1)%n].y-p.y;
        angle+=ang(x1,y1,x2,y2);
    }
    if(fabs(angle-2*pi)<0.000001){
        return true;
    }else{
        return false;
    }
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&q);
    for(int i=0;i<n;i++){
        scanf("%lf%lf",&poly[i].x,&poly[i].y);
    }
    point p;
    for(int i=0;i<q;i++){
        scanf("%lf%lf",&p.x,&p.y);
        if(inpolygon(p)){
            printf("Yes\n");
        }else{
            printf("No\n");
        }
    }
    return 0;
}