746. 使用最小花费爬楼梯

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题目链接

https://leetcode.cn/problems/min-cost-climbing-stairs/

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一、题目描述

给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

• 示例 1：
  输入：cost = [10,15,20]
  输出：15
  解释：你将从下标为 1 的台阶开始。
• 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 15 。
• 示例 2：
  输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
  输出：6
  解释：你将从下标为 0 的台阶开始。

• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 6 。

• 提示：
  2 <= cost.length <= 1000
  0 <= cost[i] <= 999

二、思路

1.动态规划

1.确定dp数组以及下标的含义
使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。

dp[i]的定义：到达第i个台阶所花费的最少体力为dp[i]。

2.确定递推公式
可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。

一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];

注意这里为什么是加cost[i]，而不是cost[i-1],cost[i-2]之类的，因为题目中说了：每当你爬上一个阶梯你都要花费对应的体力值

3.dp数组如何初始化
根据dp数组的定义，dp数组初始化其实是比较难的，因为不可能初始化为第i台阶所花费的最少体力。

那么看一下递归公式，dp[i]由dp[i-1]，dp[i-2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。

vector<int> dp(cost.size());
dp[0] = cost[0];
dp[1] = cost[1];

4.确定遍历顺序
因为是模拟台阶，而且dp[i]又dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。

5.举例推导dp数组

下标i	0		1		2		3		4		5		6		7		8		9
dp[i]	1		100		2		3		3		103		4		5		104		6

class Solution {
    
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
    
        vector<int> dp(cost.size());
        dp[0] = cost[0];
        dp[1] = cost[1];
        for (int i = 2; i < cost.size(); i++) {
    
            dp[i] = min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i];
        }
        // 注意最后一步可以理解为不用花费，所以取倒数第一步，第二步的最少值
        return min(dp[cost.size() - 1], dp[cost.size() - 2]);
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(n)

2.优化

class Solution {
    
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
    
        int dp0 = cost[0];
        int dp1 = cost[1];
        for (int i = 2; i < cost.size(); i++) {
    
            int dpi = min(dp0, dp1) + cost[i];
            dp0 = dp1; // 记录一下前两位
            dp1 = dpi;
        }
        return min(dp0, dp1);
    }
};

• 时间复杂度：O(n)
• 空间复杂度：O(1)