动态规划：背包问题模板代码汇总

说明：根据acwing算法提高课和算法基础课整理，代码根据y总的稍加修改。

1.0-1背包问题

问题模型描述：

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。

第 i 件物品的体积是vi，价值是 wi。求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。

模板题：2. 01背包问题 - AcWing题库
代码（空间优化版）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m; //数量和总体积 
	for(int i=0;i<n;++i){
		int v,w; //v:体积;w:价值 
		cin>>v>>w;
		for(int j=m;j>=v;--j) f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
	}
	cout<<f[m];
	return 0;
}

 2.完全背包问题

问题模型描述：0-1背包问题的基础上，每一个物品可以无限选用。

模板题：3. 完全背包问题 - AcWing题库

代码（优化到O(n^2)，空间一维）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int f[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m; //数量和总体积 
	for(int i=0;i<n;++i){
		int v,w; //v:体积;w:价值 
		cin>>v>>w;
		for(int j=v;j<=m;++j) f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
	}
	cout<<f[m];
	return 0;
}

3.分组背包问题 

问题模型描述：

有 N 组物品和一个容量是 V 的背包。每组物品有若干个，同一组内的物品最多只能选一个。

求解将哪些物品装入背包，可使物品总体积不超过背包容量，且总价值最大。

模板题：9. 分组背包问题 - AcWing题库

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int f[N],v[N][N],w[N][N],s[N];
int main()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m; //数量和总体积 
	for(int i=1;i<=n;++i){ 
		cin>>s[i]; //第i类的个数 
		for(int j=1;j<=s[i];++j) cin>>v[i][j]>>w[i][j]; 
	}
	for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=m;j>=0;--j)
	for(int k=1;k<=s[i];++k)
	if(v[i][k]<=j) f[j]=max(f[j],f[j-v[i][k]]+w[i][k]);
	cout<<f[m];
	return 0;
}

4.最长公共上升子序列问题

这个不算背包模型，算是区间dp，朴素做法复杂度是O(n^3)，这里贴上O(n^2)复杂度的代码。

问题模型描述：两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列。

模板题：272. 最长公共上升子序列 - AcWing题库

代码（O(n^2)）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=3010;
int n,a[N],b[N],f[N][N];
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;++i) cin>>b[i];
    for(int i=1;i<=n;++i){
        int maxv=1;
        for(int j=1;j<=n;++j){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(a[i]==b[j]) f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
            if(b[j]<a[i]) maxv=max(maxv,f[i][j]+1);
        }
    }
    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;++i) res=max(res,f[n][i]);
    cout<<res;
    return 0;
}

5.背包问题求方案数

问题模型描述：0-1背包问题的基础上，最优选法的方案数。

模板题：11. 背包问题求方案数 - AcWing题库

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010,mod=1e9+7;
int f[N],g[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    g[0]=1;
    for(int i=0;i<n;++i){
        int v,w;
        cin>>v>>w;
        for(int j=m;j>=v;--j){
            int mav=max(f[j],f[j-v]+w),cnt=0;
            if(mav==f[j]) cnt+=g[j];
            if(mav==f[j-v]+w) cnt+=g[j-v];
            cnt%=mod;
            g[j]=cnt;
            f[j]=mav;
        }
    }
    int res=0,ans=0;
    for(int i=0;i<m;++i) res=max(res,f[i]);
    for(int i=0;i<m;++i) if(res==f[i]) ans=(ans+g[i])%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}

6.有依赖的背包问题。

问题模型描述：有 N 个物品和一个容量是 V 的背包。物品之间具有依赖关系，且依赖关系组成一棵树的形状。如果选择一个物品，则必须选择它的父节点。

模板题：10. 有依赖的背包问题 - AcWing题库

状态表示：f[u][m]:以u为根节点的子树，在代价不超过m时产生的最大价值。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=110;
int h[N],ne[N],e[N],idx,v[N],w[N],f[N][N];
int n,m;
void add(int a,int b)
{
	e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void dfs(int u)
{
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
		int son=e[i];
		dfs(son);
		for(int j=m-v[u];j>=0;--j)
		for(int k=0;k<=j;++k)
		f[u][j]=max(f[u][j],f[u][j-k]+f[son][k]);
	}
	for(int i=m;i>=v[u];--i) f[u][i]=f[u][i-v[u]]+w[u];
	for(int i=0;i<v[u];++i) f[u][i]=0;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	memset(h,-1,sizeof(h));
	int r;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int p;
		cin>>v[i]>>w[i]>>p;
		if(p==-1) r=i;
		else add(p,i);
	}
	dfs(r);
	cout<<f[r][m];
	return 0;
}

 7.多重背包问题

问题模型描述：0-1背包问题的基础上，第i个物品最多选择si件。

模板题：5. 多重背包问题 II - AcWing题库

代码（二进制优化版）：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M=2010,N=25000;
int v[N],w[N],f[M];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int cnt=0;
    for(int i=1;i<=n;++i){
    	int a,b,s;
    	cin>>a>>b>>s;
    	int k=1;
    	while(k<=s){
    		++cnt;
    		v[cnt]=a*k,w[cnt]=b*k;
    		s-=k;
    		k<<=1;
		}
		if(s>0){
			++cnt;
			v[cnt]=a*s,w[cnt]=b*s;
		}
	}
	n=cnt;
	for(int i=1;i<=n;++i)
	for(int j=m;j>=v[i];--j)
	f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]);
	cout<<f[m];
    return 0;
}

滑动窗口优化版：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20010;
int f[N],g[N],q[N];
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;++i){
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        memcpy(g,f,sizeof(f)); //存上一层状态
        for(int j=0;j<v;++j){
            int hh=0,tt=-1;
            for(int k=j;k<=m;k+=v){
                if(hh<=tt&&q[hh]<k-s*v) hh++;
                if(hh<=tt) f[k]=max(f[k],g[q[hh]]+(k-q[hh])/v*w);
                while(hh<=tt&&g[q[tt]]-(q[tt]-j)/v*w<=g[k]-(k-j)/v*w) tt--;
                q[++tt]=k;
            }
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}

 

 8.组合背包问题

问题模型描述：有 N 种物品和一个容量是 V 的背包。

物品一共有三类：

• 第一类物品只能用1次（01背包）；
• 第二类物品可以用无限次（完全背包）；
• 第三类物品最多只能用 si 次（多重背包）；

模板题：7. 混合背包问题 - AcWing题库

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1010;
int n,m;
int f[N];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=0;i<n;++i){
        int v,w,s;
        cin>>v>>w>>s;
        if(s==0) //完全背包
        for(int j=v;j<=m;++j) f[j]=max(f[j],f[j-v]+w);
        else{
            if(s==-1) s=1; //01背包相当于个数为1的多重背包
            for(int k=1;k<=s;k*=2){
                for(int j=m;j>=k*v;--j) f[j]=max(f[j],f[j-k*v]+k*w);
                s-=k;
            }
            if(s) for(int j=m;j>=s*v;--j) f[j]=max(f[j],f[j-s*v]+s*w);
        }
    }
    cout<<f[m];
    return 0;
}