机器人学DH参数及利用matlab符号运算推导

引言

重新复习了一下机器人学DH参数，并且利用matlab符号运算进行了推导，验证了公式。

1.DH参数原理

图中的坐标系定义：

• 坐标系$i$的$z$轴$z_i$和关节轴线$i$共线，指向任意规定。
• 坐标系$i$的$x$轴$x_i$和$a_i$重合，由关节$i$指向关节$i+1$，当$a_i=0$，取$x_i=\pm z_{i+1}\times z_i$。
• 坐标系$i$的$y$轴$y_i$按右手法则规定。
• 坐标系$i$的原点$o_i$取在$x_i$和$z_i$的交点上；当$z_i$和$z_{i+}$相交时，原点取再两轴交点上，当$z_i$和$z_{i+}$平行时，原点取在使$d_{i+1}=0$的地方。

利用连杆坐标系定义相应的连杆参数：

• $a_i$=从$z_i$到$z_{i+1}$沿$x_i$测量的距离（公垂线长度）
• ${\alpha }_i$=从$z_i$到$z_{i+1}$沿$x_i$旋转的角度
• $d_i$=从$x_{i-1}$到$x_i$沿$z_i$测量的距离
• ${\theta }_i$=从$x_{i-1}$到$x_i$沿$z_i$旋转的角度

坐标系$\{i\}$相对坐标系$\{i-1\}$的变换矩阵${}^{i-1}{T}_i$可以看作四个子变换矩阵的乘积：

1. 绕$x_{i-1}$轴转${\alpha }_{i-1}$角
   $$Ro{t}_x\left({\alpha }_{i-1}\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& cos{\alpha }_{i-1}& -sin{\alpha }_{i-1}& 0\\ 0& sin{\alpha }_{i-1}& cos{\alpha }_{i-1}& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
2. 沿$x_{i-1}$轴移动$a_{i-1}$
   $$Tran{s}_x\left(a_{i-1}\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& a_{i-1}\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
3. 沿$z_i$轴移动${\theta }_i$
   $$Ro{t}_z\left({\theta }_i\right)=\left[\begin{array}{cccc}cos{\theta }_i& -sin{\theta }_i& 0& 0\\ sin{\theta }_i& cos{\theta }_i& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$
4. 沿$z_i$轴移动$d_i$
   $$Tran{s}_z\left(d_i\right)=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& d_i\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

这些变换都是相对运动坐标系描述的，满足从左到右的原则，可以得到最终变换公式如下：

$${}_i^{i-1}T=Ro{t}_x\left({\alpha }_i\right)Tran{s}_x\left(a_i\right)Ro{t}_z\left({\theta }_i\right)Tran{s}_z\left(d_i\right)$$
通常规定$a_i\ge 0$，因为它代表连杆长度，而${\alpha }_i,d_i,{\theta }_i$可正可负。

$${}_i^{i-1}T=\left[\begin{array}{cccc}cos{\theta }_i& -sin{\theta }_i& 0& a_{i-1}\\ sin{\theta }_{i}cos{\alpha }_{i-1}& cos{\theta }_{i}cos{\alpha }_{i-1}& -sin{\alpha }_{i-1}& -d_{i}sin{\alpha }_{i-1}\\ sin{\theta }_{i}sin{\alpha }_{i-1}& cos{\theta }_{i}sin{\alpha }_{i-1}& cos{\alpha }_{i-1}& d_{i}cos{\alpha }_{i-1}\\ 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

2.Matlab符号运算验证

利用Matlab的符号运算进行公式推导进行一下公式的验证

syms theta d alpha a
M=DH_Trans(theta,d,alpha,a)
function M=DH_Trans(theta,d,alpha,a)
    R_z_theta=[cos(theta),-sin(theta),0,0;...
        sin(theta),cos(theta),0,0;...
        0,0,1,0;...
        0,0,0,1];
    T_z_d=[1,0,0,0;...
        0,1,0,0;...
        0,0,1,d;...
        0,0,0,1];
    R_x_alpha=[1,0,0,0;...
        0,cos(alpha),-sin(alpha),0;...
        0,sin(alpha),cos(alpha),0;...
        0,0,0,1];
   T_x_a=[1,0,0,a;...
        0,1,0,0;...
        0,0,1,0;...
        0,0,0,1];
   M=R_x_alpha*T_x_a*R_z_theta*T_z_d;
end

结果是一致的