RSA加密解密详解

0x01 RSA概要

RSA算法是非对称密码算法。非对称密码又称为公钥密码，意思为每对加密包含一个公钥（可能为他人所知）和一个私钥（可能不为所有人所知）。有效的安全需要保持私钥的私密性；公钥可以在不影响安全性的情况下公开分发。

RSA 的安全性依赖于分解两个大素数乘积的实际困难，但相对较慢，可以称为“分解问题”。

RSA应用

• 客户端将其公钥发送到服务器并请求一些数据
• 服务器使用客户端的公钥加密数据并发送加密数据
• 客户端接收此数据并对其进行解密

0x02 RSA算法详细流程

RSA算法四个步骤

• 密钥生成
• 密钥分发
• 加密
• 解密

关于RSA相关公式

n = p * q

ø(n) = (p - 1) * (q - 1)

ed ≡ 1 mod ø(n) 

c = m**e mod n

m = c**d mod n

simple example

已知：P = 11，q = 29，e = 3

求d

通过公式：
ø(n) = (p - 1) * (q - 1)

φ(n) = (p-1)(q-1) = (11-1)*(29-1) = 280

通过公式：
ed ≡ 1 mod ø(n)

“≡”是数论中表示同余的符号
如果两个整数 ed 和 1 满足 ed-1 能被 ø(n) 整除，称为整数 ed 与 1 对模 ø(n) 同余

1 < d < ø(n)

3d ≡ 1 mod 280
3d mod 280 = 1
d = 187

通过公式：
n = p * q

n = 11 * 29 = 319

公钥（n，e）
私钥（n，d）
得到：
公钥（319，3）
私钥（319，187）

或者用脚本解d：
gmpy2.invert(e,(p-1)*(q-1))

使用此密钥对可以加密的最大数字是多少

加密函数为：
c(m) = m^e mod n

解密函数为：
m(c) = c^d mod n

RSA算法一次能加密的名文长度与密钥长度成正比。

len_in_byte(raw_data) = len_in_bit(key)/8-11

如果小于这个长度，就需要进行数据补齐，称为padding，不进行数据补齐用户就无法确分解密后内容的真实长度。

n的长度就是密钥长度，n = 319，n的二进制为100111111，密钥为9位，RSA实际可加密的明文长度最大也是1024bits

当加密明文m = 23时，求密文c

加密函数为：
c(m) = m^e mod n

 

c(m) = 23^3 mod 319 = 12167 mod 319
c(m) = 45

import gmpy2
n = 319
e = 3
m = 23
print(pow(m, e, n))

当密文c = 23时，求明文m

解密函数为：
m(c) = c^d mod n

m(c) = 23^187 mod 319
m(c) = 199

import gmpy2
n = 319
d = 187
c = 23
print(pow(c,d,n))