信息学奥赛一本通 1279：【例9.23】橱窗布置(flower) | 洛谷 P1854 花店橱窗布置

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ybt 1279：【例9.23】橱窗布置(flower)
洛谷 P1854 花店橱窗布置
吐槽：一本通中给的测试数据中，负号是全角负号！怪不得每次数据读不完程序就结束了。还是用洛谷的测试数据吧。

【题目考点】

1. 动态规划

【解题思路】

1. 状态定义

集合：摆花的方案
限制：选择前几束花，放在前几个瓶子中
属性：美学值
条件：最大
统计量：美学值
状态定义：dp[i][j]：将前i束花放入前j个瓶子中，美学值最大的方案的美学值。
初始状态：前0束花放入j个花瓶中，美学值为0。所以dp[0][j] = 0。

2. 状态转移方程

记将第i束花放入第j个瓶子得到的美学值为a[i][j]。
集合：将前i束花放入前j个瓶子
本题分割集合的方法有两种，因此状态转移方程也有两种。

解法1：

分割集合：根据将第i束花放入第几个瓶子来分割集合

• 如果把第i束花放入第j个瓶子，那么接下来需要把前i-1束花放入前j-1个瓶子中获得最大美学值。dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + a[i][j]
• 如果把第i束花放入第j-1个瓶子，那么接下来需要把前i-1束花放入前j-2个瓶子中获得最大美学值。dp[i][j] = dp[i-1][j-2] + a[i][j-1]
  …如果把第i束花放入第i个瓶子，那么接下来需要把前i-1束花放入前i-1个瓶子中获得最大美学值。dp[i][j] = dp[i-1][i-1] + a[i][i]
• 以上多种情况取最大值。
• 综上，k从i循环到j，dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][k-1] + a[i][k])

解法2：

分割集合：根据将第i束花是否放入第j瓶子来分割集合

• 如果把第i束花放入第j个瓶子，那么接下来需要把前i-1束花放入前j-1个瓶子中获得最大美学值。dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + a[i][j]
• 如果不把第i束花放入第j瓶子，那么接下来需要把前i束花放入前j-1个瓶子中获得最大美学值。dp[i][j] = dp[i][j-1]
• 以上两种情况取最大值

3. 具体做法：

1. 瓶子编号j的循环范围

由于每束花都要放在某个花瓶中，前i束花放入前j个瓶子中，瓶子数量必须大于等于花的数量，所以$j\ge i$。
一共有f束花v个瓶子，在前i束花放入前j个瓶子时，还剩下f-i束花，v-j个瓶子，剩下的瓶子的数量也一定要大于等于花的数量，因此$v-j\ge f-i$，即$j\le v-f+i$
所以j从i循环到v-f+i。

2. 记录方案

设数组b，b[i][j]表示如果将前i束花放入前j个瓶子，第i束花所在的瓶子。
如果确定将花放入第k瓶子能获得最大美学值，可以更新dp[i][j]，那么也同时更新b[i][j] = k。
如果将前i束花放入前j个瓶子与放入前j-1个瓶子能获得的最大美学值一样，那么将前i束花放入前j个瓶子第i束花所在的瓶子，与将前i束花放入前j-1个瓶子第i束花所在的瓶子也是一样的，所以b[i][j] = b[i][j-1]。
输出时通过递归的方法逆序输出，前i束花放入前j个瓶子，第i束花在b[i][j]，那么先输出前i-1束花放在前b[i][j]-1个瓶子中的情况，再输出b[i][j]。

3. 复杂度

方法2的时间复杂度稍优于方法1。由于f与v最多为$100$，$O(n^2)$或$O(n^3)$的复杂度都能过。
空间复杂度上，方法1可以做滚动数组优化，不过没有必要，输入数据和b数组都是$O(n^2)$复杂度的，滚动数组优化后并不能减少整体的空间复杂度。

【题解代码】

解法1：三重循环

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int f, v, a[N][N], dp[N][N];//dp[i][j]:前i个束花放在前j个花瓶中能得到的最大美学度
int b[N][N];//b[i][j]:前i个花束放入前j个瓶子，第i束花在哪个瓶子 
void show(int i, int j)//输出前i个花束放入前j个瓶子各花束的位置 
{
    
	if(i == 0)
		return;
	show(i-1, b[i][j]-1);
	cout << b[i][j] << ' ';
}
int main()
{
    
    cin >> f >> v;
    for(int i = 1; i <= f; ++i)
        for(int j = 1; j <= v; ++j)
            cin >> a[i][j];
	memset(dp, 0xc0, sizeof(dp));//初始化为负无穷
    for(int j = 0; j <= v; ++j)
    	dp[0][j] = 0;
	for(int i = 1; i <= f; ++i)
        for(int j = i; j <= v-f+i; ++j)
            for(int k = i; k <= j; ++k)
            {
    
        	    if(dp[i][j] < dp[i-1][k-1] + a[i][k])
        	    {
    
        	       	dp[i][j] = dp[i-1][k-1] + a[i][k];
        		    b[i][j] = k; 
        	    }
        	}
    cout << dp[f][v] << endl;
    show(f, v);
    return 0;
}

解法2：二重循环

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
int f, v, a[N][N], dp[N][N];//dp[i][j]:前i个束花放在前j个花瓶中能得到的最大美学度
int b[N][N];//b[i][j]:前i个花束放入前j个瓶子，第i束花在哪个瓶子 
void show(int i, int j)//输出前i个花束放入前j个瓶子各花束的位置 
{
    
	if(i == 0)
		return;
	show(i-1, b[i][j]-1);
	cout << b[i][j] << ' ';
}
int main()
{
    
    cin >> f >> v;
    for(int i = 1; i <= f; ++i)
        for(int j = 1; j <= v; ++j)
            cin >> a[i][j];
	memset(dp, 0xc0, sizeof(dp));//初始化为负无穷
    for(int j = 0; j <= v; ++j)
    	dp[0][j] = 0;
	for(int i = 1; i <= f; ++i)
        for(int j = i; j <= v-f+i; ++j)
        {
    
        	if(dp[i][j-1] < dp[i-1][j-1]+a[i][j])
        	{
    
        		dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+a[i][j];
        		b[i][j] = j; 
        	}
			else
			{
    
        		dp[i][j] = dp[i][j-1];
        		b[i][j] = b[i][j-1];
        	}
        }
    cout << dp[f][v] << endl;
    show(f, v);
    return 0;
}