Leetcode 96. 不同的二叉搜索树

96. 不同的二叉搜索树

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。
示例 1：

输入：n = 3
输出：5

示例 2：

输入：n = 1
输出：1

提示：

1 <= n <= 19

思路

我们可以把n = 1 2 3 这三种情况都列出来，然后我们可以发现：
n = 1时，只有一个结点，值为1，也只能组成一种二叉搜索树。
n = 2时，1 2 可以1 为节点，也可以2为根节点，所以是两种情况。
n = 3时，也就是上图中的这一种情况，共五种情况，可以分成三大类：

1. 1为根节点：剩下的都比1大，所以左子树有 1 - 1 = 0个结点，右子树有3 - 1 = 2个结点，那么情况又变成了右子树两个结点，左子树零个结点。所以此时次数 = 左子树0个结点的种类数 * 右子树2个结点的种类数
2. 2为根节点：左子树 2 - 1 = 1个结点，右子树 3 - 2 = 1个结点，所以此时次数 = 左子树一个结点 * 右子树一个结点
3. 3为根节点：左子树 3 - 1 = 2个结点，右子树 3 - 3 = 0个结点，所以此时次数 = 左子树两个结点 * 右子树一个结点

而我们也可以知道，无论左子树还是右子树对应结点数的种类数就等于dp[i]的值。
所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2];
对于第 i 个结点，要考虑从 1 到 i 作为根节点的情况，所以需要累加
一共是 i 个结点，对于根节点 j ，此时，左子树有 j - 1 个结点，右子树有 i - j 个结点

代码

class Solution {
    
public:
    int numTrees(int n) {
    
        int dp[n + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) dp[i] = 0;
        dp[0] = 1;

        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
            for (int j = 1; j <= i; j++) {
    
                dp[i] += dp[i - j] * dp[j - 1];
            }
        }

        return dp[n];
    }
};
/* //对于第i个节点，需要考虑1作为根节点直到i作为根节点的情况，所以需要累加 //一共i个节点，对于根节点j时,左子树的节点个数为j-1，右子树的节点个数为i-j */

/* 元素1为头结点搜索树的数量 = 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量 元素2为头结点搜索树的数量 = 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量 元素3为头结点搜索树的数量 = 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量 有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。 有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。 有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。 所以dp[3] = dp[2] * dp[0] + dp[1] * dp[1] + dp[0] * dp[2] */