MCS：连续随机变量——Student’s t分布

Student’s t

Student’s t分布也是一个很重要的分布在统计分析中，常用于检验变量均值的显著性。Student’s t分布也叫做t分布，与标准的正态分布类似，但是尾部可以向左右延申，取决于参数$k$自由度。

t分布的期望和方差：

$$E(t)=0$$
$$V(t)=\frac{k}{k-2}，k>2$$

t分布性质：

1. 当$k>30$时，t分布近似于标准的正态分布。
2. t、chi-Square和标准正态分布之间的关系：
   $$t=\frac{z}{\sqrt{{\mathcal{X}}^2/k}}$$

生成服从t分布的随机变量

1. 生成一个标准的正态变量：$z\sim N(0,1)$
2. 生成一个自由度为k的Chi-Square变量：${\mathcal{X}}_k^2$
3. $t=z/\sqrt{{\mathcal{X}}_k^2/k}$
4. Return t.

例：生成一个自由度为6的t变量：

1. $z=0.71$
2. ${\mathcal{X}}_6^2=6.29$
3. $t=0.71/\sqrt{6.29/6}=0.693$
4. $t=0.693$

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def generate_t_var(k=1):
    z = np.random.normal(0, 1)
    if k < 30:
        c = (np.random.normal(0, 1, size=(k))**2).sum()
        t = z / np.sqrt(c / k)
    else:
        z_ = np.random.normal(0, 1)
        c = int(k + z_ * np.sqrt(2*k) + 0.5)
        t = z / np.sqrt(c / k)
    return t

$k=1、10、30、50$

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