Nim游戏阶梯 Nim游戏和SG函数应用（集合游戏）

阶梯Nim游戏

现在，有一个 n 级台阶的楼梯，每级台阶上都有若干个石子，其中第 i 级台阶上有 ai 个石子(i≥1)。

两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一级台阶上拿若干个石子放到下一级台阶中（不能不拿）。

已经拿到地面上的石子不能再拿，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式
第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 级台阶上的石子数 ai。

输出格式
如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围
1≤n≤105,
1≤ai≤109
输入样例：
3
2 1 3
输出样例：
Yes

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    int n;
    cin>>n;
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ){
    
        int x;
        cin>>x;
        if (i%2) res^= x;
    }
    if (res) cout<<"Yes"<<endl;
    else
    cout<<"No"<<endl;
    return 0;
}

集合Nim游戏

给定 n 堆石子以及一个由 k 个不同正整数构成的数字集合 S。

现在有两位玩家轮流操作，每次操作可以从任意一堆石子中拿取石子，每次拿取的石子数量必须包含于集合 S，最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式
第一行包含整数 k，表示数字集合 S 中数字的个数。

第二行包含 k 个整数，其中第 i 个整数表示数字集合 S 中的第 i 个数 si。

第三行包含整数 n。

第四行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 hi。

输出格式
如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围
1≤n,k≤100,
1≤si,hi≤10000
输入样例：
2
2 5
3
2 4 7
输出样例：
Yes

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <unordered_set>
using namespace std;
const int N = 1e4+10;
int a[110],f[N];
int n,k;
int SG (int x)
{
    
    if (f[x]!=-1) return f[x];
    unordered_set<int> mh;
    for (int i=0;i<k;i++)
    {
    
        int j = a[i];
        if (x>=j) mh.insert(SG(x-j));
        
    }
    for (int i=0;;i++)
       if (!mh.count(i)) return f[x]=i;
}
int main(){
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>k;
    for (int i = 0; i < k; i ++ ) cin>>a[i];
    cin>>n;
    memset(f, -1, sizeof f);
    int res = 0;
    while (n -- )
    {
    
        int x;
        cin>>x;
        res^=SG(x);
    }
    if (res) cout<<"Yes"<<endl;
    else
    cout<<"No"<<endl;
    return 0;
}

拆分-Nim游戏

给定 n 堆石子，两位玩家轮流操作，每次操作可以取走其中的一堆石子，然后放入两堆规模更小的石子（新堆规模可以为 0，且两个新堆的石子总数可以大于取走的那堆石子数），最后无法进行操作的人视为失败。

问如果两人都采用最优策略，先手是否必胜。

输入格式
第一行包含整数 n。

第二行包含 n 个整数，其中第 i 个整数表示第 i 堆石子的数量 ai。

输出格式
如果先手方必胜，则输出 Yes。

否则，输出 No。

数据范围
1≤n,ai≤100
输入样例：
2
2 3
输出样例：
Yes

666

相比于集合-Nim，这里的每一堆可以变成不大于原来那堆的任意大小的两堆
即a[i]a[i]可以拆分成(b[i],b[j])(b[i],b[j]),为了避免重复规定b[i]>=b[j]b[i]>=b[j],即：a[i]>=b[i]>=b[j]a[i]>=b[i]>=b[j]
相当于一个局面拆分成了两个局面，由SG函数理论，多个独立局面的SGSG值，等于这些局面SGSG值的异或和。
因此需要存储的状态就是sg(b[i])sg(b[i])^sg(b[j])sg(b[j])（与集合-Nim的唯一区别）

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include<unordered_set>
using namespace std;
const int N = 110;
int a[N],f[N];
int n;
int sg(int x)
{
    
    if (f[x]!=-1) return f[x];
    unordered_set<int> mh;
    for (int i=0;i<x;i++)
        for (int j=0;j<=i;j++)
        mh.insert(sg(i)^sg(j));
        
    for (int i=0;;i++)
    if (!mh.count(i)) return f[x] = i;
}
int main()
{
    
    ios::sync_with_stdio(false);
    memset(f, -1, sizeof f);
    cin>>n;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
    
        cin>>a[i];
        res^= sg(a[i]);
    }
    if (res) cout<<"Yes"<<endl;
    else
    cout<<"No"<<endl;
    return 0;
}