2022年湖南工学院ACM集训第五次周测AD题题解

Problem A Newbie

来源：第46届ICPC-ECFinal(东亚赛区总决赛) I 题 Future Coder

考察：思维，分类讨论

难度：橙题

本题大致思路是先将数组排序，排序后进行分类讨论。

1. 若当前 a 选的数为负数，那么我们另一个数 b 只有 3 种选择的可能，分别是负数，0，正数，当 b 为负数时，可以发现乘法中负负得正，因此 a * b 恒大于 a + b，不符合条件；当 b 为 0 时，a * 0 永远为 0，而 a + 0 永远为负数，因此 a * b 恒大于 a + b，也不符合条件；当 b 为正数时，a * b 永远是负数，并且相乘后只会比原来的 a 更小，而 a + b 由于 b 是正数，因此 相加后只会比原来的 a 更大。因此 a * b < a + b。也就是说，当 a 选择负数时，方案种类即为正数的个数。
2. 若当前 a 选的数为 0，同样 b 也有 3 种可能，分别是负数，0，正数。而刚才我们已经讨论了 0 和 负数 的情况，因此只分析其他两种。当 b 为 0 时，a * b = 0，a + b = 0，因此 a * b == a + b，不符合条件；当 b 为正数时，a * b = 0 ，a + b > 0，因此 a * b < a + b 符合条件。因此当 a 为 0 时，方案种数即为正数的个数。
3. 若当前 a 选的数为 正数，同样 b 也有 3 种可能，分别是负数，0，正数。而刚才我们已经讨论了 负数 和 正数 以及 0 和 正数 的情况，因此只分析剩下的一种。当 b 为正数时，可以列出一下证明。

        当 时， 分别为何值时，满足不等式 。

将 a + b 移相。

做差配上 1

合并式子

因此通过式子可以发现，当 a 为 1 时式子满足 或 当 b 为 1 时式子满足 或 当 a 和 b 均为 1 时式子满足，换句话说，只要 a 或 b 其中任意一个为 1 ，即可满足式子。

因此，当 a 选正数时，我们可以让 a 选 1，若a = 1，则 b 可以为任何正数，因此方案数为剩余正数个数，若 a 不为 1，那么我们应该让 b 为 1。这样就可以求出所有方案了。

这个题实际上可以不用推公式，自己多造几组数据，就可以发现这个原则。 

发现大家其实都发现了这个规律，但就是算不明白....

ps:赛时发现大家常犯的错误：不开long long，样例没过就直接交送罚时。完全没想到这题 dirt 率如此之高，希望大家以后还是多注意注意细节，尽可能自己捏一些数据验证一下。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
using namespace std;
ll a[2020200];
int main() {
    int t;
    cin >> t;
    while (t--) {
        int n;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> a[i];
        }
        sort(a + 1, a + 1 + n);
        ll sum = 0;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            if (a[i] <= 0) {
                int pos = lower_bound(a + 1 + i, a + 1 + n, 1) - a; //找到 1 所在的位置，也就是正数所在的第一个位置
                if (pos == n && a[pos] <= 0) { // 若没有正数，那么此轮无方案
                    continue;
                }
                else {
                    sum += n - pos + 1; // 否则加上正数区间个数
                }
            }
            else if (a[i] == 1) {
                sum += n - i; //如果当前为 1，那么除了该位置以外的后面所有的位置都可以被当成 b
            }
        }
        cout << sum << endl;
    }
    return 0;
}

Problem D 量角器

来源：AcWing 第 61 场周赛 B 题 指针

考察：dfs

难度：橙题

本题可以发现数据范围不超过 15，那么对于这种选数的题，我们可以直接dfs暴力求解即可。不难发现每次拨动我们可以任意选择顺时针或者逆时针，因此直接记录一下顺时针逆时针分别一共转了多少度，当n次拨动完后，判断一下是否相等即可，但是！！！！还有一点要注意，因为量角器是360度的，因此当你转动大于360后，实际上是不存在这种度数的，因此需要判断一下总转动度数对360取余后是否相等即可。

另外这题与上周的C题是极其相似的，除了相等情况的判定，其他几乎一模一样。还是希望大家赛后认认真真补题吧，不懂的可以问。

ps：由于数据有点水，赛时让两位同学代码水过去了，错误原因也正是大于360的情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
typedef long long ll;
const ll mod = 998244353;
using namespace std;
int a[200];
int vis[200];
int n;
int f = 0;
void dfs(int x, int y, int now) { //x记录顺时针，y记录逆时针
    if (now == n + 1) {
        if (x % 360 == y % 360) {
            f = 1;
        }
        return;
    }
    dfs(x + a[now], y, now + 1);
    dfs(x, y + a[now], now + 1);
}
int main() {
    cin >> n;
    ll sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        sum += a[i];
    }
    dfs(0, 0, 1);
    if (f) {
        cout << "YES";
    }
    else {
        cout << "NO";
    }
    return 0;
}