8.1 Diffie-Hellman密钥交换

  Diffie-Hellman密钥交换(DHKE)方案提供了实际中密钥分配问题的解决方案，即它允许双方通过不安全的信道进行交流，得到一个共同密钥。DHKE的基本思想为，$Z_p^{\ast }$内的指数运算(p是素数)是单向函数，并且该指数运算是可交换的，即:$$k=(a^x{)}^y=\equiv (a^y{)}^{x}modp$$
  值$k=(a^x{)}^y=\equiv (a^y{)}^{x}modp$是一个联合密钥，它可以当做通信双方的会话密钥使用。

Diffie-Hellman密钥交换协议在$Z_p^{\ast }$的工作方式
  这个协议拥有两个参与方，Alice和 Bob，他们将建立一个共享密钥。可能存在一个值得信赖的第三方，该方能恰当地选择密钥交换所需的公开参数。然而，Alice或Bob也可能生成公开参数。严格来讲，DHKE协议由两个协议组成:握手协议和主要协议; 其中主要协议负责执行真正的密钥交换。

  Diffie-Hellman握手协议

1. 选择一个大素数$p$。
2. 选择一个整数$\alpha \in \{2,3,4,....,p-2\}$。
3. 公开$p$和$\alpha$

  Diffie-Hellman密钥交换




  下面来证明协议的正确性，即 Alice和 Bob实际上计算的都是相同的会话密钥$k_{AB}$

  证明: Alice计算$$B^{\alpha }\equiv ({\alpha }^b{)}^a\equiv {\alpha }^{ab}modp$$
  而Bob计算$$A^b\equiv ({\alpha }^a{)}^b\equiv {\alpha }^{ab}modp$$

  因此Alice和 Bob都共享会话密钥$k_{AB}={\alpha }^{ab}modp$。这个密钥可以用来在Alice和 Bob之间建立一个安全的通信，比如将$k_{AB}$用作类似AES或3DES等对称算法的密钥。

示例：Diffie-Hellman的域参数为$p=29,\alpha =2$。此协议的处理过程如下:


  双方计算得到的值都是$k_{AB}=16$, 这个值可以当做联合密钥使用，比如作为对称加密中的会话密钥。

参考资料：《深入浅出密码学》–Christof Paar,Jan Pelzl著