ACM. HJ61 放苹果 ●

HJ61 放苹果 ●

描述

把m个同样的苹果放在n个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？
注意：如果有7个苹果和3个盘子，（5，1，1）和（1，5，1）被视为是同一种分法。

数据范围：$0\le m\le 10$ ，$1\le n\le 10$。

输入描述：

输入两个int整数

输出描述：

输出结果，int型

示例

输入：
7 3
输出：
8

题解

1. 动态规划

1. dp[i][j] 表示有 i 个苹果，j 个盘子时的不同方法数；
2. dp[0][j] = 1; 0个苹果，一种方法；
   dp[i][1] = 1; 1个盘子，一种方法。
3. 当 i < j 即苹果树小于盘子数时，一定存在空盘子，继承 dp[i][j] = dp[i][j-1];
   当 i >= j 即苹果数大于等于盘子数时，dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j]; 分两种情况：
   （1）有一个空盘子：dp[i][j-1];（往下递推可能还包括其他空盘子）
   （2）无空盘子：dp[i-j][j];每个盘子都放一个苹果，即等价于 剩余 i - j 个苹果放在 j 个盘子的方法数。
4. 外层遍历苹果数，内层遍历盘子数，从小到大。

• 时间复杂度：$O(m\ast n)$，进行两层循环，通过穷举需要进行两层 for 循环实现递推
• 空间复杂度：$O(m\ast n)$，维护二维数组保存状态

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int main(){
    
    int apple, plate;
    cin >> apple >> plate;
    int dp[apple+1][plate+1];
    for(int j = 0; j <= plate; ++j) dp[0][j] = 1;   // 0个苹果
    for(int i = 1; i <= apple; ++i) dp[i][1] = 1;   // 1个盘子
    for(int i = 1; i <= apple; ++i){
            // 苹果数 i
        for(int j = 2; j <= plate; ++j){
        // 盘子数 j
            if(i < j){
    
                dp[i][j] = dp[i][j-1];		// 当 i < j 即苹果树小于盘子数时，一定存在空盘子，继承 `dp[i][j] = dp[i][j-1];`
            }else{
    
                dp[i][j] = dp[i][j-1] + dp[i-j][j];
                // 当 i >= j即苹果数大于等于盘子数时况：
				//（1）有一个空盘子：`dp[i][j-1];`（dp[i][j-1];中可能还包括其他空盘子）
				//（2）无空盘子：`dp[i-j][j];`每个盘子都放一个苹果，即等价于 剩余 i - j 个苹果放在 j 个盘子的方法数。
            }
        }
    }
    cout << dp[apple][plate] << endl;
    return 0;
}

2. 递归

情况分析类似于动态规划，此处利用递归进行计算。

• 时间复杂度：$O(2^n)$，树型递归，最大深度为N，总共递归 $2^N$ 次
• 空间复杂度：$O(n)$，递归栈的深度不超过树高，即不超过盘子数 n

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

int count(int apple, int plate){
    
    if(apple == 0 || plate == 1) return 1;
    if(apple < plate){
    
        return count(apple, plate-1);
    }else{
    
        return count(apple, plate-1) + count(apple-plate, plate);
    }
}

int main(){
    
    int apple, plate;
    cin >> apple >> plate;
    cout << count(apple, plate) << endl;
    return 0;
}