【MPC】①二次规划问题MATLAB求解器quadprog

一、概述

二次规划是指约束为线性的二次优化问题。在Matlab中，quadprog是具有线性约束的二次目标函数求解器。

（一）二次规划标准形式

$$\underset{x}{\min }\frac{1}{2}{\mathbf{x}}^{\mathbf{T}}\mathbf{H}\mathbf{x}+{\mathbf{f}}^{\mathbf{T}}\mathbf{x}$$
其实H是Hessian 阵，是n乘n的对称阵。

1、海森矩阵的正定性与函数最优性

• 如果 Hessian 矩阵是半正定的，则我们说该式是一个凸二次规划，在这种情况下该问题的困难程度类似于线性规划。如果有至少一个向量满足约束并且在 可行域 有下界，则凸二次规划问题就有一个全局最小值。
• 如果是正定的，则这类二次规划为严格的凸二次规划，那么全局最小值就是唯一的。
• 如果是一个 不定矩阵 ，则为非凸二次规划，这类二次规划更有挑战性，因为它们有多个平稳点和局部极小值点。

2、基本数学概念

• 基础概念：https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50598523
• 凸 严格凸，举例：https://zhuanlan.zhihu.com/p/399549564

3、对称阵的正定性判断

• 正定矩阵：矩阵的所有特征值均大于0
• 半正定矩阵：矩阵的所有特征值均非负
• 负定矩阵：矩阵所有特征值均小于0

https://blog.csdn.net/Infinity_07/article/details/109569450

4、matlab正、半正、负定阵生成，与quadprog验证
（1）matlab判断正定性：

% 判断矩阵m是正定、半正定还是负定
m = [2 -1; -1 2]; 

if issymmetric(m) % 检查矩阵是否对称
    % disp('矩阵对称');
    d = eig(m); % 计算矩阵特征值
    if all(d > 0)
        disp('矩阵正定');
    elseif all(d >= 0)
        disp('矩阵半正定');
    else
        disp('矩阵负定');
    end
else
    disp('矩阵不对称');
end

（2）matlab产生正定阵的操作

https://blog.csdn.net/zhao523520704/article/details/52918376/

H_posi=diag([1,2,3]);
H_semi=diag([0,2,3]);
H_nega=diag([-1,-2,-3]);

（二）输入参数

符号	参数含义
H	二次目标矩阵
f	线性目标向量
A	线性不等式矩阵
b	线性不等式向量
Aeq	线性等式约束矩阵
beq	线性等式约束向量
lb	下界
ub	上界

（三）输出参数

符号	参数含义
x	解，以实数向量形式返回
wsout	解的热启动对象
fval	再解处的目标函数值
exitflag	quadprog停止的原因
output	有关优化过程的信息，以结构体形式返回
lambda	解处的拉格朗日乘数

二、MATLAB基础语法

x = quadprog(H,f)
x = quadprog(H,f,A,b)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
x = quadprog(problem)
[x,fval] = quadprog(___)
[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___)
[wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)

三、MATLAB典型求解样例

（一）具有线性不等式约束的二次规划

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b);

x =
0.6667
1.3333
fval = -8.2222
exitflag =
1

（二）具有线性等式约束的二次规划

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
Aeq = [1 1];
beq = 0;
[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq)

x = -0.8000
0.8000
fval = -1.6000
exitflag =
1

（三）具有线性约束和边界的二次规划

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [2;-3;1];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(size(lb));
Aeq = ones(1,3);
beq = 1/2;
x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)；