运筹优化基础知识

前言

本文为运筹优化基础知识总结，适合初学者或者经历了长时间搁置的读者。

线性规划模型的三种形式

LP模型有一般形式、规范形式和标准形式
一般形式
$$\begin{gathered} minz=c_1{x}_1+\cdots +c_n{x}_n \\ s.t.a_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n=b_i,i=1,\cdots ,p \\ {a}_{i1}{x}_1+a_{i2}{x}_2+\cdots +a_{in}{x}_n\ge b_i,i=p+1,\cdots ,m \\ {x}_j\ge 0,j=1,\cdots ,q \\ {x}_j无限制,j=q+1,\cdots ,n \end{gathered}$$
规范形式
$$\begin{gathered} min{c}^{T}x \\ s.t.Ax\ge b \\ x\ge 0 \end{gathered}$$
标准形式
$$\begin{gathered} min{c}^{T}x \\ s.t.Ax=b \\ x\ge 0 \end{gathered}$$
一般形式转换为规范形式，首先把
$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j=b_i$$
转换为
$$\begin{gathered} \sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\ge b_i \\ \sum _{j=1}^n(-a_{ij})x_j\ge (-b_i) \end{gathered}$$
再用两个非负变量$x_j^{+}\ge 0$和$x_j^{-}\ge 0$替代无符号限制变量
$$x_j=x_j^{+}-x_j^{-}$$
一般形式转换为标准形式，首先把
$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j\ge b_i$$
转换为
$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{x}_j-s_i=b_i,s_i\ge 0$$
其中$s_i$为剩余变量，也可以通过加松弛变量进行变换
无符号限制变量的转换同上

线性规划问题解的三种情况

1. 可行区域$D=\varnothing$，即该问题无解或不可行
2. $D\ne \varnothing$，但目标函数在D上无界，即该问题无界
3. $D\ne \varnothing$，且目标函数有有限的最优值，即该问题有最优解

凸集

凸集的定义：设$S\subset {\mathbf{R}}^n$是n维欧式空间中的一个点集，若对任何$x\in S,y\in S$与任何的$\lambda \in [0,1]$都有
$$\lambda x+(1-\lambda )y\in S$$
就称S是一个凸集
由凸集定义，易推到
$D=\{x\in {\mathbf{R}}^n|Ax=b,x\ge 0\}$是凸集
任意多个凸集的交集还是凸集

对偶

自由变量对应等式约束
非负变量对应不等式约束

后续待补充