零知识证明：具有DDH假设的 ZKP

Diffie-Hellman部分

我们必须证明我们仍然持有一个秘密(私有)密钥，这是一个非常典型的情况。那我们怎么把Victor和Peggy绑定到一个证明基础设施中让Peggy向Victor证明她还持有一把私钥呢？为此，我们将通过交换Diffie-Hellman密钥来绑定Victor和Peggy。

在DDH中，我们有一个由 * g、g^a*、*gb、g^{ab }* 组成的元组，其中a和b是秘密。g^a和gb的值在双方交换后，应该都能生成g^{ab}：

Chaum-Pedersen部分

如果Peggy是证明者，而Victor是验证者，那么Peggy需要表明她知道一个秘密值a。有了Chaum-Pedersen ZKP，Victor让Peggy生成一个ZKP来保护一个秘密。在这个过程中，她将g^a (mod p)的值发送给Victor，当Victor需要证明她仍然知道一个值时，他将发送一个挑战值(s)，然后Alice生成一个随机值，并返回y_1=g^r和y_2=Br。然后Victor检查gz=A^s y_1 (mod p)和B^z=Cs y_2 (mod p)是否相等。

在Victor和Peggy交换他们的秘密后，Victor将持有g^a (mod p)， Peggy将持有g^b(mod p)。对于零知识证明，我们这样开始：

Peggy有一个秘密值a并生成A = g^a。Victor 的秘密值为b并生成B = g^b。他们交换A和B，然后使用 Diffie Hellman 方法生成C。

Victor向Peggy发送一个commitment：

Peggy计算出一个随机值：

她发给Victor：

和：

Peggy还发送：

Victor会检查：

和：

如果这些都是真的，那么Peggy已经证明她知道这个秘密(a)。因为：

代码

代码如下所示：

import random
import libnum
import sys

bitsize=128
if (len(sys.argv)>1):
    bitsize=int(sys.argv[1])
      
p=libnum.generate_prime(bitsize)
s=random.getrandbits(bitsize)
g=2
a=random.getrandbits(bitsize)
b=random.getrandbits(bitsize)
c=random.getrandbits(bitsize)

r=random.getrandbits(bitsize)
A=pow(g,a,p)
B=pow(g,b,p)
C=pow(g,a*b,p)

y1=pow(g,r,p)
y2=pow(B,r,p)

z=(r+a*s) % (p-1)


print("== Chaum-Pederson ZKP with DDH ==")
print("p=",p)
print("a=",a)
print("A=g^a (mod p)=",A)
print("b=",b)
print("B=g^a (mod p)=",B)
print("ab=",a*b)
print("C=g^{ab} (mod p)=",C)


print("\nProof: g^z = A^s y1")
val1= pow(g,z,p)
val2=(pow(A,s,p)*y1) % p
print("Val1=",val1)
print("Val2=",val2)

if (val1==val2):
    print("- Proof verified")
    
print("\nProof: B^z = C^s y2")
val3= pow(B,z,p)
val4=(pow(C,s,p)*y2) % p

print("Val3=",val3)
print("Val4=",val4)

if (val3==val4):
    print("- Proof verified")

256位素数的运行示例如下：

== Chaum-Pederson ZKP ==
p= 71808837207067558396943502247178805470599306337269585872075038503116361400603
a= 36623398984913964172485596625205226031763309121917034188846578869320021978402
A=g^a= 32096207796582799691444233880948982714496908564580085529419678203181985482397
b= 31626404664308059618102781249870451013488637545242770934698960204990436278054
B=g^a= 22868249499514124460303251323889043821880224466294750444534923941031732565838
ab= 1158266436479298052448345755868228483694002563526288816181771624565721107667448582344993414115064433575649547672009235534272667805336831732117954454589708
C=g^{ab}= 8021151953795073005899136029637476282156155200732630284950825682466003109726
Proof: g^z = A^s y1
Val1= 9590670516289397297344719778854690756344241363231213529959870845950311348445
Val2= 9590670516289397297344719778854690756344241363231213529959870845950311348445

- Proof verified
Proof: B^z = C^s y2
Val3= 56336209634019548929170814618015392124101293159018455662661735618180853220223
Val4= 56336209634019548929170814618015392124101293159018455662661735618180853220223

- Proof verified

结论

网络安全的唯一方向是零信任模式。阻止敏感信息数据泄露的一种方法不是储存这些秘密，而是用随机的预言机代替它们。即便这些预言机被泄漏，真正的秘密也不会被泄漏。在我概述的方法中，我们可以通过散列使用证明的生成值轻松地将其转换为 NI-ZKP（非交互式 ZKP）。

Source：https://medium.com/asecuritysite-when-bob-met-alice/hellman-pedersen-and-chaum-zkps-with-the-decisional-diffie-hellman-ddh-assumption-4ed7d4a3220d

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