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数字滤波器(三)--模拟滤波器的设计

2022-07-28 16:36:00 【爱吃骨头的猫、】

模拟滤波器的设计

引

数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现
 数字滤波器(二)–最小相位延时系统和全通系统

前言

IIR滤波也就是无限长单位冲击响应滤波器，基本结构和MATLAB实现可以参考本专栏第一篇博客：数字滤波器(一)–IIR与FIR的基本结构与MATLAB实现。 IIR滤波器的设计步骤主要由下图所示的三个大步骤组成。首先我们要设计出模拟原型滤波器，然后将滤波器数字化为相应的数字低通滤波器，然后在记性数字域的转换称为我们希望得到的选频滤波器（低通、高通、带通、带阻）。
在这里插入图片描述
再来说一下IIR滤波器的优缺点：

IIR滤波器的优点
- 可以利用模拟滤波器设计，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。
IIR滤波器的缺点
- 相位是非线性的
- 冲击响应无限长，所以不能做快速卷积运算
- 存在稳定性问题
本篇博客主要讲述了怎么设计以及实现常用的模拟滤波器，巴特沃斯滤波器与切比雪夫Ⅰ型滤波器。

1. 模拟滤波器的系统函数

模拟滤波器的系统函数通常用 $H_a(s)$ 表示，而模拟滤波器的响应可以用 $H_a(jΩ)$ 表示，所以模拟滤波器的幅度平方函数的表达式为：
在这里插入图片描述
对于实滤波器，零极点在s平面是以共轭复数对的形式出现，如下图所示：

我们来看一下s平面和z平面的对应关系：

在这里插入图片描述
s平面中 $σ < 0$ 的区域对应的就是z平面上的单位圆，为什么要讨论这个关系呢？因为滤波器肯定都要求是因果稳定的系统，其系统函数在z平面的极点都在单位圆内部，所以对应在s平面，极点应该分布在左半平面。如果要求是最小相位延时系统，那么系统函数的零点也都应该分布在s平面的左半平面。

2 巴特沃斯滤波器

2.1 设计指标

首先我们了解一下巴特沃斯滤波器的形状，如下图所示：
在这里插入图片描述
从上图可以看出，巴特沃斯模拟滤波器具有最大平坦振幅特性，阻带单调变化。阶数N越大，曲线越抖，滤波器特性越好。

设计巴特沃斯滤波器需要考虑一下指标(指标对应下图)：

N: 滤波器阶数
$Ω_p$ ：通带截止频率
$Ω_c$ ：滤波器截止频率，又称3dB带宽，其对应的赋值为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$
$Ω_st$ : 阻带截止频率
$δ_p$ : 通带衰减(波纹)（dB）
$δ_s$ : 阻带衰减(波纹)（dB）

2.2 设计流程

第一步：根据指标要求确定滤波器阶数N(向上取整)与滤波器截止频率

在这里插入图片描述

第二步： 根据阶数进行查表，得到归一化的系统函数 $H_aN(s)$ :

系统函数的归一化表达式为：

在这里插入图片描述

第三步：将系统函数进行去归一化，得到最终的系统函数：

下面我们通过一个例子来感受一下设计巴特沃斯滤波器的过程：

在这里插入图片描述

3. 切比雪夫Ⅰ型滤波器

3.1 设计指标

切比雪夫模拟滤波器分为Ⅰ型和Ⅱ型两种，我们来看下一两种滤波器的响应曲线。

切比雪夫Ⅰ型
振幅特征在通带内是等波纹的，在阻带内单调下降：

对于滤波器的阶数N，为奇数时和偶数时滤波器的通带波纹是不一样的，N为奇数时， $Ω = 0$ 时的幅度为1，N为偶数时， $Ω = 0$ 时的幅度为 $\frac{1}{\sqrt{1+ε^2}}$
切比雪夫Ⅱ型
振幅特性在阻带内是等波纹的，通带内是平稳的：

本篇博文重点讨论切比雪夫Ⅰ型滤波器。
设计比雪夫Ⅰ型滤波器需要考虑以下指标：
$N$ ：滤波器阶数
$Ω_c$ ：通带宽度
$δ_p$ : 通带衰减(波纹)（dB）
$δ_s$ : 阻带衰减(波纹)（dB）

3.2 设计流程

第一步：根据指标要求确定滤波器阶数
滤波器的阶数可以由通带、阻带衰减确定：

其中双曲余弦函数 $arcch(x)=ln(x+\sqrt{x^2-1})$
第二步：根据阶数和通带波纹进行查表
此时截止频率是归一化的：

通过查表可以确定模拟滤波器归一化系统函数：

其中的系数 $d_0$ 可以通过 $H_a(j0)=H_{aN}(s)|_{s=0}$ 确定，当阶数N为奇数时， $H_{aN}(s)|_{s=0}=1$ ，当阶数N为偶数时， $H_{aN}(s)|_{s=0}=\frac{1}{\sqrt{1+ε^2}}$ ，其中参数 $ε$ 可以通过公式： $ε^2=10^{0.1δ_p}-1$ 来确定。
第三步：将系统函数进行去归一化，得到最终的系统函数

下面我们通过一个例子来感受一下设计切比雪夫Ⅰ型滤波器的过程：