哈夫曼樹（一）基本概念與C語言實現

本章介紹哈夫曼樹。和以往一樣，本文會先對哈夫曼樹的理論知識進行簡單介紹，然後給出C語言的實現。後續再分別給出C++和Java版本的實現；實現的語言雖不同，但是原理如出一轍，選擇其中之一進行了解即可。若文章有錯誤或不足的地方，請幫忙指出！

目錄

1. 哈夫曼樹的介紹
2. 哈夫曼樹的圖文解析
3. 哈夫曼樹的基本操作
4. 哈夫曼樹的完整源碼

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哈夫曼樹的介紹

Huffman Tree，中文名是哈夫曼樹或霍夫曼樹，它是最優二叉樹。起源主要是信息編碼傳輸，主要應用於信息編碼和數字壓縮領域，目前也是現代壓縮算法的基礎。

定義：給定n個權值作為n個葉子結點，構造一棵二叉樹，若樹的帶權路徑長度達到最小，則這棵樹被稱為哈夫曼樹。 這個定義裏面涉及到了幾個陌生的概念，下面就是一顆哈夫曼樹，我們來看圖解答。

 

(01) 路徑和路徑長度

定義：在一棵樹中，從一個結點往下可以達到的孩子或孫子結點之間的通路，稱為路徑。通路中分支的數目稱為路徑長度。若規定根結點的層數為1，則從根結點到第L層結點的路徑長度為L-1。
例子：100和80的路徑長度是1，50和30的路徑長度是2，20和10的路徑長度是3。

(02) 結點的權及帶權路徑長度

定義：若將樹中結點賦給一個有著某種含義的數值，則這個數值稱為該結點的權。結點的帶權路徑長度為：從根結點到該結點之間的路徑長度與該結點的權的乘積。
例子：節點20的路徑長度是3，它的帶權路徑長度= 路徑長度 * 權 = 3 * 20 = 60。

(03) 樹的帶權路徑長度

定義：樹的帶權路徑長度規定為所有葉子結點的帶權路徑長度之和，記為WPL。
例子：示例中，樹的WPL= 1*100 + 2*80 + 3*20 + 3*10 = 100 + 160 + 60 + 30 = 350。

比較下面兩棵樹

 

上面的兩棵樹都是以{10, 20, 50, 100}為葉子節點的樹。

左邊的樹WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360
右邊的樹WPL=350

左邊的樹WPL > 右邊的樹的WPL。你也可以計算除上面兩種示例之外的情况，但實際上右邊的樹就是{10,20,50,100}對應的哈夫曼樹。至此，應該堆哈夫曼樹的概念有了一定的了解了，下面看看如何去構造一棵哈夫曼樹。

哈夫曼樹的圖文解析

假設有n個權值，則構造出的哈夫曼樹有n個葉子結點。 n個權值分別設為 w1、w2、…、wn，哈夫曼樹的構造規則為：

1. 將w1、w2、…，wn看成是有n 棵樹的森林(每棵樹僅有一個結點)；
2. 在森林中選出根結點的權值最小的兩棵樹進行合並，作為一棵新樹的左、右子樹，且新樹的根結點權值為其左、右子樹根結點權值之和；
3. 從森林中删除選取的兩棵樹，並將新樹加入森林；
4. 重複(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵樹為止，該樹即為所求得的哈夫曼樹。

以{5,6,7,8,15}為例，來構造一棵哈夫曼樹。

 

第1步：創建森林，森林包括5棵樹，這5棵樹的權值分別是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(5和6)來進行合並，將它們作為一顆新樹的左右孩子(誰左誰右無關緊要，這裏，我們選擇較小的作為左孩子)，並且新樹的權值是左右孩子的權值之和。即，新樹的權值是11。 然後，將"樹5"和"樹6"從森林中删除，並將新的樹(樹11)添加到森林中。
第3步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(7和8)來進行合並。得到的新樹的權值是15。 然後，將"樹7"和"樹8"從森林中删除，並將新的樹(樹15)添加到森林中。
第4步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(11和15)來進行合並。得到的新樹的權值是26。 然後，將"樹11"和"樹15"從森林中删除，並將新的樹(樹26)添加到森林中。
第5步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(15和26)來進行合並。得到的新樹的權值是41。 然後，將"樹15"和"樹26"從森林中删除，並將新的樹(樹41)添加到森林中。
此時，森林中只有一棵樹(樹41)。這棵樹就是我們需要的哈夫曼樹！

哈夫曼樹的基本操作

哈夫曼樹的重點是如何構造哈夫曼樹。本文構造哈夫曼時，用到了以前介紹過的"(二叉堆)最小堆"。下面對哈夫曼樹進行講解。

1. 基本定義

typedef int Type;

typedef struct _HuffmanNode {
    Type key;                     // 權值
    struct _HuffmanNode *left;    // 左孩子
    struct _HuffmanNode *right;   // 右孩子
    struct _HuffmanNode *parent;  // 父節點
} HuffmanNode, *HuffmanTree;

HuffmanNode是哈夫曼樹的節點類。

2. 構造哈夫曼樹

/*
 * 創建Huffman樹
 *
 * 參數說明：
 *     a 權值數組
 *     size 數組大小
 *
 * 返回值：
 *     Huffman樹的根
 */
HuffmanNode* create_huffman(Type a[], int size)
{
    int i;
    HuffmanNode *left, *right, *parent;

    // 建立數組a對應的最小堆
    create_minheap(a, size);

    for(i=0; i<size-1; i++)
    {   
        left = dump_from_minheap();  // 最小節點是左孩子
        right = dump_from_minheap(); // 其次才是右孩子

        // 新建parent節點，左右孩子分別是left/right；
        // parent的大小是左右孩子之和
        parent = huffman_create_node(left->key+right->key, left, right, NULL);
        left->parent = parent;
        right->parent = parent;


        // 將parent節點數據拷貝到"最小堆"中
        if (dump_to_minheap(parent)!=0)
        {
            printf("插入失敗!\n結束程序\n");
            destroy_huffman(parent);
            parent = NULL;
            break;
        }
    }   

    // 銷毀最小堆
    destroy_minheap();

    return parent;
}

首先通過create_huffman(a, size)來一個最小堆。最小堆構造完成之後，進入for循環。

每次循環時：

(01) 首先，將最小堆中的最小節點拷貝一份並賦值給left，然後重塑最小堆(將最小節點和後面的節點交換比特置，接著將"交換比特置後的最小節點"之前的全部元素重新構造成最小堆)；
(02) 接著，再將最小堆中的最小節點拷貝一份並將其賦值right，然後再次重塑最小堆；
(03) 然後，新建節點parent，並將它作為left和right的父節點；
(04) 接著，將parent的數據複制給最小堆中的指定節點。

在二叉堆中已經介紹過堆，這裏就不再對堆的代碼進行說明了。若有疑問，直接參考後文的源碼。其它的相關代碼，也Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！

哈夫曼樹的完整源碼

哈夫曼樹的源碼共包括4個文件。

1. 哈夫曼樹的頭文件(huffman.h)

2. 哈夫曼樹的實現文件(huffman.c)

3. 哈夫曼樹對應的最小堆(minheap.c)

4. 哈夫曼樹的測試程序(huffman_test.c)