数学知识（欧拉函数）

前提：欧拉函数Φ（n）表示1~n中与n互质的数的个数。

 【若两个数只有1一个共同的质因子，称为互质】

eg：ϕ（6）=2。[1,2,3,4,5,6]

那怎么求1~n中与n互质的数的个数呢？

由算数基本定理可得，任何一个数n可以用如下式子表示，其中Pi是质因数，ai为指数。

 

 

这里还要介绍一下容斥原理：

既然要算互质的数的个数，则要将质因数的倍数全部删掉，操作如下：

1）从1~n中减去p1，p2，…，pk的倍数【-奇】

2）加上所有pi*pj的倍数              【+偶】

3）减去所有pi*pj*pk的倍数            【-奇】

如此有：

 化简得：

 补充步骤解释：

 

 

		1	2	3	4	5	6	7
第一步：	删掉Pi的倍数	-1			-1	-1	-1
	删掉Pj的倍数		-1		-1	-1		-1
	删掉pk的倍数			-1		-1	-1	-1
第二步：	加上pi*pj的倍数				+1	+1
	加上pi*pk的倍数					+1	+1
	加上pj*pk的倍数					+1		+1
第三步：	减去pi*pj*pk的倍数					-1
总共		-1	-1	-1	-1	-1	-1	-1

题目链接：873. 欧拉函数 - AcWing题库

题面：

 下面求解质因数的代码可以参考这个博客：

数学问题（数论）试除法做质数的判断、分解质因数，筛质数_吴雨4的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/WSY444/article/details/125496621?spm=1001.2014.3001.5502

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
ll t,n;
int main()
{
    cin>>t;
   while(t--)
   {
       cin>>n;
       ll ans=n;
       for(int i=2;i<=n/i;i++)
       {
           if(n%i==0)
           {
               ans=ans/i*(i-1);//等价于ans*(1-1/i)
               while(n%i==0) n/=i;
           }
       }
       if(n>1) ans=ans/n*(n-1);
       cout<<ans<<endl;
   }
    return 0;
}