MCS：多元随机变量——多项式分布

Multinomial多项式

假设一个实验有$k$个相互独立的结果:$R_1,R_2,...R_k$对应发生的概率分别是：$p_1,p_2,...p_k$。且${\sum }_{i=1}^k{p}_i=1.0$。独立重复$n$次实验，每一种实验结果发生的次数可以用随机变量$x_1,x_2,..x_k$来表示，${\sum }_{i=1}^k{x}_i=n$。

$x_i$的概率分布：

$$P(x_1,...,x_k)=\frac{n!}{[x_1!...x_k!]p_1^{x_1}...p_k^{x_k}}$$

$x_i$的边际（期望和方差）：

$$E(x_i)=n{p}_i$$
$$V(x_i)=n{p}_i(1-p_i)$$

生成多项式随机变量

已知：多显示变量:$(x_1,x_2,...,x_k)$，发生的概率:$(p_1,P_2,...p_k)$

1. $i=1\to k$
   • $p_i^{\prime }=p_i/{\sum }_{j=i}^k{p}_j$
   • $n_i^{\prime }=n-{\sum }_{j=1}^{i-1}{x}_j$
   • 生成一个随机的二项式变量：$x_i\sim Binomial(n_i^{\prime },p_i^{\prime })$
2. $(x1,x_2,...x_k)$

例：假设一个实验只有三种结果可能发生，概率分别是:0.5, 0.3, 0.2。假设重复进行五次的独立实验，这种情况下每种情况出现的次数,即：随机的多项式变量：$x_1,x_2,x_3$可能是多少？

1. $i=1，n_1^{\prime }=5，p_1^{\prime }=0.5，Binomial(5，0.5)=2,x_1=2$
2. $i=2，n_2^{\prime }=3，p_2^{\prime }=0.3/(0.3+0.2)=0.6，Binomial(3,0.6)=2,x_2=2$
3. $i=3，n_3^{\prime }=1，p_3^{\prime }=0.2/0.2=1.0，Binomial(1,1.0)=1,x_3=1$
4. $(x_1=2，x_2=2，x_3=1)$

模拟生成多项式变量

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def generateMultinomial(n = 100, k=3, probas=[0.5, 0.3, 0.2]):
    x = [0, 0, 0]
    for i in range(k):
        p_ = probas[i]/np.sum(probas[i:])
        n_ = n - np.sum(x[:i+1])
        b = np.random.binomial(n_, p_)
        x[i] = b
    return x