漫画：如何实现大整数相乘？（下）

如何用程序实现大整数相乘呢？

在上一篇文章 漫画：如何实现大整数相乘？（上） 修订版 当中，我们介绍了两种思路：

1.像列竖式一样，把两整数按位依次相乘

这个思路的时间复杂度是O（n^2）。

2.利用分治法，把每个大整数分成高位和低位两部分，转化成四个较小的乘积。

这个思路的时间复杂度同样是O（n^2）。

那么，有什么样的优化方案，可以使时间复杂度优于O（n^2）呢？我们今天一起来研究下。

如何做调整呢？其实很简单，连小学生都会：

这样一来，原本的4次乘法和3次加法，转变成了3次乘法和6次加法。

这样一来，时间复杂度是多少呢？

假设两个长度为n的大整数相乘，整体运算规模是T(n) 。

刚才我们说过，两个大整数相乘可以被拆分成三个较小的乘积，

所以在第一次分治时，T(n)和T(n/2)有如下关系：

T(n) = 3T(n/2) + f(n)

其中f(n)是6次加法的运算规模，f(n)的渐进时间复杂度很明显是O(n)。

此时让我们回顾一下master定理：

设常数a >= 1，b > 1，如果一个算法的整体计算规模 T(n) = a T(n / b) + f(n)，那么则有如下规律：

对于T(n) = 3T(n/2) + f(n)这个关系式来说， a=3， b=2。

把a和b的值，以及f(n)的时间复杂度带入到master定理的第一个规律，也就是下面的规律：

发现正好符合条件。

怎么符合条件呢？推导过程如下：

所以我们的平均时间复杂度是：

2 和 1.59 之间的差距看似不大，但是当整数长度非常大的时候，两种方法的性能将是天壤之别。

下面展示一下实现代码。我们的代码非常复杂，在这里只作为参考，最重要的还是解决问题的思路：

/**
 * 大整数乘法
 * @param bigNumberA  大整数A
 * @param bigNumberB  大整数B
 */
public static String bigNumberMultiply(String bigNumberA, String bigNumberB) {
    boolean isNegative = false;
    if ((bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-"))
            || (!bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-"))) {
        // 两数同符号的情况
        bigNumberA = bigNumberA.replaceAll("-", "");
        bigNumberB = bigNumberB.replaceAll("-", "");
    } else if ((bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-"))
            || (!bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-"))) {
        // 两数不同符号的情况
        bigNumberA = bigNumberA.replace("-", "");
        bigNumberB = bigNumberB.replace("-", "");
        isNegative = true;
    }
    // 如果两数长度之和小于10，直接相乘返回
    if (bigNumberA.length() + bigNumberB.length() < 10) {
        // 计算乘积
        int tmp = (Integer.parseInt(bigNumberA) * Integer.parseInt(bigNumberB));
        if (tmp == 0) {
            return "0";
        }
        String value = String.valueOf(tmp);
        if(isNegative){
            value = "-" + value;
        }
        return value;
    }
    // 公式 AC * 10^n+((A-B)(D-C)+AC+BD) * 10^(n/2)+BD当中的a,b,c,d
    String a, b, c, d;
    if (bigNumberA.length() == 1) {
        a = "0";
        b = bigNumberA;
    } else {
        if (bigNumberA.length() % 2 != 0) {
            bigNumberA = "0" + bigNumberA;
        }
        a = bigNumberA.substring(0, bigNumberA.length() / 2);
        b = bigNumberA.substring(bigNumberA.length() / 2);
    }
    if (bigNumberB.length() == 1) {
        c = "0";
        d = bigNumberB;
    } else {
        if (bigNumberB.length() % 2 != 0) {
            bigNumberB = "0" + bigNumberB;
        }
        c = bigNumberB.substring(0, bigNumberB.length() / 2);
        d = bigNumberB.substring(bigNumberB.length() / 2);
    }
    // 按最大位数取值，以确定补零数目
    int n = bigNumberA.length() >= bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();

    //t1,t2为中间运算结果，t3为乘法运算完毕的结果
    String t1, t2, t3;
    String ac = bigNumberMultiply(a, c);
    String bd = bigNumberMultiply(b, d);

    //t1=(A-B)(D-C)
    t1 = bigNumberMultiply(bigNumberSubtract(a, b), bigNumberSubtract(d, c));
    //t2=(A-B)(D-C)+AC+BD
    t2 = bigNumberSum(bigNumberSum(t1, ac), bd);
    //t3= AC * 10^n+((A-B)(D-C)+AC+BD) * 10^(n/2)+BD
    t3 = bigNumberSum(bigNumberSum(Power10(ac, n), Power10(t2, n/2)), bd).replaceAll("^0+", "");
    if (t3 == "")
        return "0";
    if(isNegative){
        return "-" + t3;
    }
    return t3;
}



/**
 * 大整数加法
 * @param bigNumberA  大整数A
 * @param bigNumberB  大整数B
 */
public static String bigNumberSum(String bigNumberA, String bigNumberB) {

    if (bigNumberA.startsWith("-") && !bigNumberB.startsWith("-")) {
        return bigNumberSubtract(bigNumberB, bigNumberA.replaceAll("^-", ""));
    } else if (!bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-")) {
        return bigNumberSubtract(bigNumberA, bigNumberB.replaceAll("^-", ""));
    } else if (bigNumberA.startsWith("-") && bigNumberB.startsWith("-")) {
        return "-" + bigNumberSum(bigNumberA.replaceAll("^-", ""), bigNumberB.replaceAll("^-", ""));
    }

    //1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1
    int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();
    int[] arrayA = new int[maxLength+1];
    for(int i=0; i< bigNumberA.length(); i++){
        arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length()-1-i) - '0';
    }
    int[] arrayB = new int[maxLength+1];
    for(int i=0; i< bigNumberB.length(); i++){
        arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length()-1-i) - '0';
    }
    //2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1
    int[] result = new int[maxLength+1];
    //3.遍历数组，按位相加
    for(int i=0; i<result.length; i++){
        int temp = result[i];
        temp += arrayA[i];
        temp += arrayB[i];
        //判断是否进位
        if(temp >= 10){
            temp -= 10;
            result[i+1] = 1;
        }
        result[i] = temp;
    }
    //4.把result数组再次逆序并转成String
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    //是否找到大整数的最高有效位
    boolean findFirst = false;
    for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {
        if(!findFirst){
            if(result[i] == 0){
                continue;
            }
            findFirst = true;
        }
        sb.append(result[i]);
    }
    return sb.toString();
}


/**
 * 大整数减法
 * @param bigNumberA  大整数A
 * @param bigNumberB  大整数B
 */
public static String bigNumberSubtract(String bigNumberA, String bigNumberB) {
    int compareResult = compare(bigNumberA, bigNumberB);
    if (compareResult == 0) {
        return "0";
    }
    boolean isNegative = false;
    if (compareResult == -1) {
        String tmp = bigNumberB;
        bigNumberB = bigNumberA;
        bigNumberA = tmp;
        isNegative = true;
    }
    //1.把两个大整数用数组逆序存储，数组长度等于较大整数位数+1
    int maxLength = bigNumberA.length() > bigNumberB.length() ? bigNumberA.length() : bigNumberB.length();
    int[] arrayA = new int[maxLength+1];
    for(int i=0; i< bigNumberA.length(); i++){
        arrayA[i] = bigNumberA.charAt(bigNumberA.length()-1-i) - '0';
    }
    int[] arrayB = new int[maxLength+1];
    for(int i=0; i< bigNumberB.length(); i++){
        arrayB[i] = bigNumberB.charAt(bigNumberB.length()-1-i) - '0';
    }
    //2.构建result数组，数组长度等于较大整数位数+1
    int[] result = new int[maxLength+1];
    //3.遍历数组，按位相加
    for(int i=0; i<result.length; i++){
        int temp = result[i];
        temp += arrayA[i];
        temp -= arrayB[i];
        //判断是否进位
        if(temp < 0){
            temp += 10;
            result[i+1] = -1;
        }
        result[i] = temp;
    }
    //4.把result数组再次逆序并转成String
    StringBuilder sb = new StringBuilder();
    //是否找到大整数的最高有效位
    boolean findFirst = false;
    for (int i = result.length - 1; i >= 0; i--) {
        if(!findFirst){
            if(result[i] == 0){
                continue;
            }
            findFirst = true;
        }
        sb.append(result[i]);
    }
    String value = sb.toString();
    if (isNegative) {
        value = "-" + value;
    }
    return value;
}


// 比较大小
private static int compare(String x, String y) {
    if (x.length() > y.length()) {
        return 1;
    } else if (x.length() < y.length()) {
        return -1;
    } else {
        for (int i = 0; i < x.length(); i++) {
            if (x.charAt(i) > y.charAt(i)) {
                return 1;
            } else if (x.charAt(i) < y.charAt(i)) {
                return -1;
            }
        }
        return 0;
    }
}


// 扩大10的n次方倍
public static String Power10(String num, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        num += "0";
    }
    return num;
}


public static void main(String[] args) {
    String x = "1513143";
    String y = "9345963";
    System.out.println(bigNumberMultiply(x, y));
}

复制

需要注意的是，这段实现代码只适用于两个大整数长度相等的情况。如果想求解长度不等的整数相乘，只需要对代码做微小的改动，有兴趣的小伙伴没有试一试。

几点补充：

1. 文章最后的代码，经由网上技术博客的代码改动而来，仅做参考。

2. 关于快速傅里叶变换，有兴趣深入研究的小伙伴们可以参考《算法导论》第30章的内容。

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