动态规划【四】（计数类dp）例题：整数划分

例题：整数划分

链接：900. 整数划分 - AcWing题库

一个正整数 nn 可以表示成若干个正整数之和，形如：n=n1+n2+…+nkn=n1+n2+…+nk，其中 n1≥n2≥…≥nk,k≥1n1≥n2≥…≥nk,k≥1。

我们将这样的一种表示称为正整数 n 的一种划分。

现在给定一个正整数 n，请你求出 n 共有多少种不同的划分方法。

输入格式

共一行，包含一个整数 n。

输出格式

共一行，包含一个整数，表示总划分数量。

由于答案可能很大，输出结果请对 1e9+7 取模。

数据范围

1≤n≤10001≤n≤1000

输入样例:

5

输出样例：

7

思路：可以类似理解成完全背包，有n个物品，价值分别为1,2,3…n, 体积也分别为1,2,3…n，现在背包的容量为n，问恰好装满背包的方案数（注意每个物品可以有无数个）。

 

所以状态转移方程为：

    f[i][j]=f[i-1][j]+f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2*i]+....f[i-1][j-i*s]

    优化一下：

    f[i][j-i]=          f[i-1][j-i]+f[i-1][j-2*i]+....f[i-1][j-i*s]

注意这里没有少一项，f[i][j-i]的意思是背包容量为j-i，物品数量还是为1,2,3…i，所以不可能背包容量有j-i*(s+1)的情况。

由上也可以得到优化后的状态转移方程：

f[i][j]=f[i-1][j]+f[i][j-i]

再次一维优化一下：

f [j]=f [j]+f [j-i]

代码为：

#include<bits/stdc++.h>

#include<cstring>

#include<algorithm>

#include<math.h>

#include<iostream>

#include<stdio.h>

#include<iomanip>

using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1010;

const int mod=1e9+7;

ll n,f[N];

int main()

{

    ios::sync_with_stdio(false);

    cin.tie(0);

    cout.tie(0);

    cin>>n;

    f[0]=1;

    for(int i=1;i<=n;i++)

    {

        for(int j=i;j<=n;j++)

            f[j]=(f[j]+f[j-i])%mod;

    }

    cout<<f[n]<<endl;

    return 0;

}

 

 拓展：

y总还讲了另外一个dp思想，我直接惊奇先生，太牛了。

 代码：

#include<bits/stdc++.h>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<math.h>
#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<iomanip>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1010;
const int mod=1e9+7;
ll n,f[N][N];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    cin>>n;
    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=i;j++)
            f[i][j]=(f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%mod;
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=(ans+f[n][i])%mod;
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}