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依概率收敛

• 1. 背景
• 2. 定义
• 3. 定理
  • 3.1 定义
  • 3.2 证明
• 4. 参考文献

1. 背景

假设我们在生产线上一个接一个地检查产品是否合格。记为第次检查中不合格的产品数量，它仅能取0和1，且，其中为该产品的不合格率。这是一个伯努利实验序列，其对应着一个独立同分布（二项分布）的随机变量序列：，记为。如果考虑前次检查中不合格品数介于与间概率是多少？即

当然，由 可以算出此概率，但当 比较大时（如 或 ）计算时比较困难的。那我们能否找到一个较为简单的随机变量 ，使用其分布（在 较大时）可以较容易地计算出上述概率的近似值，即

那么在什么条件下和在什么意义下，随机变量序列 可以收敛于随机变量

又如在上述伯努利实验序列中，前次检查中不合格品发生的频率对不合格品率的偏差是否可以任意小呢？当比较小时肯定不行；可当很大时情况会怎样呢？因此我们将研究随机序列的极限状态。

2. 定义

定义：设为一随机变量序列，为一随机变量，如果对任意的，有

则称序列依概率收敛于 ，记作。

依概率收敛的含义是：对的绝对偏差不小于任一给定量的可能性将随着增大而愈来愈小。或者说，绝对偏差小于任一给定量的可能性将随着增大而愈来愈接近于1，即式(1)等价于

特别当为确定性分布时，即，则称序列依概率收敛于，即

3. 定理

3.1 定义

定义：设是两个随机变量序列，是两个常数。如果

则有

3.2 证明

证明： （1）因为

所以

即

由此可得.类似可证

（2）为了证明，我们分几步进行：

i) 若，则有这是因为对任意有

ii) 若，则有这是因为在时，有

而当 时，结论显然成立。

iii) 若，则有.这是因为有以下一系列结论：，，，,即 iv)由iii)及（1）知 ，，从而有

(3)为了证明，我们先证：.这是因为对任意，有

这就证明了，再与结合，利用（2）即得. 由此定理可以看出，随机变量序列在概率意义上的极限（即依概率收敛于常数a）在四则运算下仍然成立。

4. 参考文献

[1] 茆诗松, 程依明, 濮晓龙. 概率论与数理统计教程（第二版）[M]. 高等教育出版社, 2019.