MCS：离散随机变量

Discrete Arbitrary

$x$为一个离散变量，它代表着一个数值的集合，$x_i$为集合中的第$i$个数，($i\sim 1\to N$),集合中一个特定值$x_i$的概率记为：$P(x_i)=P(x=x_i)$,因此$P(x_1),...P(x_N)$定义了变量$x$的概率分布。

$$\sum _{i}P(x_i)=1$$

变量$x$的期望和方差：

$$E(x)=\sum _i{x}_{i}P(x_i)$$

$$V(x)=E(x^2)-E(x{)}^2$$

$$E(x^2)=\sum _i{x}_i^{2}P(x_i)$$

CDF:

$$F(x_i)=P(x<=x_i)$$

生成服从任意概率分布的随机变量

1. For each $x_i$, find $F(x_i),i\sim 1\to N$
2. Generate a random continuous uniform $u\sim U(0,1)$
3. Locate the smallest $x_i$ where $u<F(x_i)$
4. $ x = x_i$
5. Return $x$

例：假设$x$是离散的，服从下面概率分布和累计分布函数：

x	P(x)	F(x)
0	0.4	0.4
1	0.3	0.7
2	0.2	0.9
3	0.1	1.0

1. 生成一个均匀分布的随机变量：$u\sim U(0,1),u=0.58$
2. $u<F(1)=0.7$
3. $x=1$