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线性代数【23】概念的深入01 - Points坐标点和Vectors向量

2022-07-27 22:37:00 【Franklin】

前言：

在本栏目文章7,12都提到过向量的概念，两篇文章对向量的表述分别从代数和几何的定义出发，但，觉得还是不够深入。本节从代数和几何学角度结合实际在深入讨论一下。

本节从 $\large \mathbb{R}^{n}$ 的n维坐标系【n coordinates】出发，仔细透彻的阐述了向量的根本意义，希望能协助阅读文章的哥们理解。

小结：

向量就是一组有逻辑关系的数据。【就是这么简单啊，结了，理解的可以 PASS 了】

写在前面的话：

咱们中国人在数学领域的建树在两千年的长河里面是在是太少了，直到最近，浙江平湖的张益唐先生，一数论和质数间的有解问题，推动了数学进展，从而立身名人堂之列。

Timeline of Mathematics | Mathigon

1【准备】的概念：

Arthur Cayley:

1846年，这个家伙25岁的时候，提出来的矩阵代数，说一个四维空间的四维的点可以正确的用几何表达，而不需要借助任何超自然的解释。

由此，多维向量的来源首先和多维空间的点的表述有关联。本文也从这个思路，先从多维空间的点理解来讨论。

1.1 数学和其他领域的向量的不同

物理：

在物理学，尤其是气体研究压强和温度，向量包括位置、时间、温度、压强。流体力学研究场，向量表示场中，流体粒子的方向，但，这些都不是数学概念里面的向量。

生物：

研究 Sharks and Sardiness的时候的表述。

数学：

将事物的变化表述为函数functions,而function 其实就是一组n 个数字到m个数字的的转换：用数学表述为： $\large f:\mathbb{R}^{n}\Rightarrow \mathbb{R}^{m}$ ，而向量就是表述变化中的那组数据。

1.2 向量的重要性：

向量是整个线性代数应用的基础。向量还是向量空间的构成元素，是进行多变量微积分的基础。向量是数学多维空间变换的基本要素。

2 向量的本质

向量的本质就是一组有关系的数列：

在之前的分析中，向量可以理解为是运动的，施光燕老师说“一行或者一列的数字，这些数字是有逻辑关系的。我们称为向量”。Essence of linear algebra 视频中将向量的定义从两个基本的基向量出发，给出了向量的基本的数学和几何解释。Dr.Trefor Bazett 在linear Algebra课程提到，向量就是一组指引（an instruction）展示了向量的变换和运动的属性。

在《vector calculus linear algebarta and differential Forms.》中，给出了向量和点再实数空间的本质区别：

point是position位置
vector是increment或者displacement

【案，书中举例传统物理学中，将物理里的向量定义为有magnitue量和direction方向的属性才为向量，比如速度、力。但是，这magnitue量和direction方向两个概念，但是这两个定义过于局限。比如，温度是只具备量概念，但是，温度可以变化，比如可以由低温到高温，这样就有了升温，降温两个方向，所以，也可以定义为向量。】

2.1 实数空间 Real Space $\huge \mathbb{R}^{n}$ :点和向量的区别，

在表述所有概念之前，我们下了解实数空间的表述方法。

$\huge \mathbb{R}^{n}$

这个符号，就表述了n个实数列(orderd lists of real number)所表述的空间space.

我们最熟悉的笛卡尔空间里面，两个坐标x,y表述一个平面就是 $\huge \mathbb{R}^{^{2}}$ ，x,y,z表述就是 $\huge \mathbb{R}^{3}$

例如，坐标x,y是 $\huge \mathbb{R}^{^{2}}$ 空间的的一个元素。x,y,z是 $\huge \mathbb{R}^{3}$ 空间的元素，而， $\huge \mathbb{R}^{n}$ 空间的元素，是一组n个数字的顺序的集，或者我们认为，其中的元素具有x1,x2,...,xn的坐标。

点和向量都可以说这个 $\huge \mathbb{R}^{n}$ 空间的元素，那么这么区别呢，从根本上讲，表征位置的元素我们叫做点，而表征displacement和increment,我理解为迁徙关系或者变化量的时候我们用向量。

一般的：

用圆括号表述点，

$\begin{pmatrix} x1\\ ..\\ x2 \end{pmatrix}$

用方括号表述向量：

$\begin{bmatrix} x1\\ ...\\ x2 \end{bmatrix}$

2.1 Point 点和Cartesina笛卡尔空间的局限性：

由2.1，通常我们表述的n维向量的点的表述就是用他的n个坐标point(x,y,z,....)来表示，这些坐标就是n个实数的列表。

例如：在 $\huge \mathbb{R}^{^{2}}$ 平面上，表征一个（2,3）的点，

$\begin{pmatrix} 2\\ 3 \end{pmatrix}$

point用来表述positional的数据是比较好的，但是对于表征变化或者迁徙的数据就不行了。

现在我们看向量的表述图：

上图中，有三个向量，他们都是同一个向量，当然，他们的original不一样

$\begin{bmatrix} 2\\ 3 \end{bmatrix}$

我们在向量的本质一节，开始，就讨论了，向量vector是increment或者displacement，这样，我们可以比较形象的理解向量和坐标点的不同，坐标点主要是表征坐标系中的位置，而向量则由原点和变换或者说迁徙的长度构成，一个向量数序可以表征无数个相似的变化】

这样即使是像股票这样的复制繁杂的数据集，也可以看成是向量的集。

2.2 点和向量的区别

前面，我们讨论点表述的是位置的信息，所以，点的加是没有意义的，比如，北京+上海没有意义。而向量表述的是迁徙和变换，那么，向量的加就是有意义的，比如，到北京的距离+到上海的距离。

一般的：

用圆括号表述点，

$x = \begin{pmatrix} x1\\ ..\\ x2 \end{pmatrix}$

用方括号表述向量：

$\vec{x} = \begin{bmatrix} x1\\ ...\\ x2 \end{bmatrix}$

对 $\large \mathbb{R}^{n}$ 的元素来说，就是一组有序的数字列表，他可以是点或者是向量，但是，在线性代数里面， $\large \mathbb{R}^{n}$ 需要默认认为他的元素就是向量。这也是多维复数运算的正确的语言表达和工具。

【案】当然，本质上讲，向量的increments的研究，本质也是基于点的相关性进行的，这一点后面一节会逐渐理解贯通。

2.3 向量加减和点

向量的本质，其实就是表征了点的变换关系，比如：

上图中，向量 $\vec{ab}$ 其实就是表征了，点a,到点b的不同。在 $\large \mathbb{R}^{3}$ 的空间里面，点a,到点b的变换，从x,y,z三个坐标来看，就是每个坐标下，都增加了单位长度1（0+1,0+1,0+1）

然后，我们再b点上，再来一个到c(2,2,0)点的变换，向量 $\large \vec{bc}$ 表征了b点到c点的不同，（1+1,1+1,1+0）

那么有了点a,点b表征的向量 $\vec{ab}$ ，和点b点c表征的向量 $\large \vec{bc}$

那么，自然有点a,点c表征的向量 $\large \large \vec{ac}$ ，那么他们什么关系呢？

现在，我们思考一下，如果，a点的变化直接到c点呢？我们也可以理解a先变动到b，再由b变动到c,

也就是， $\large \large \large \vec{ac} = \large \large \vec{ab} + \large \large \vec{bc}$

这就引出了向量加的概念，就是点的运动或者是变换的和，和的计算方法，可以通过每个坐标的分量分布累加起来获得，

【案如果这个变换是初等的线性变换，例如，加减乘除等，那么我们就称为向量的线性变换。】

如果，令ab=w,ac = u,bc =v,有 $\large \vec{u} = \large \large \vec{w} + \large \large \vec{v}$

如果v1,v2... $\large v_{n}$ 分别为 $\huge \mathbb{R}^{n}$ 空间里面，向量v的各个分坐标变化量，

如果w1,w2... $\large w_{n}$ 分别为 $\huge \mathbb{R}^{n}$ 空间里面，向量w的各个分坐标变化量，

然后，我们又把这些坐标竖的表述，那么就有向量加减的一般表达式如下：

$\LARGE \vec{u}=\vec{v} + \vec{w} = \begin{bmatrix}v1\\ ...\\ v_{n} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}w1\\ ...\\ w_{n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}v1+w1\\ ...\\ v_{n}+w_{n} \end{bmatrix}$