数学分析_证明_第1章：可数个可数集之并为可数集

目录

证明

latex代码

---

证明

latex代码

\documentclass[UTF8,fleqn]{ctexart}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}

\begin{document}
可数个可数集之并为可数集
\begin{proof}
	设$A_{i}$为可数集,$i \in N$ \\
	当$A_{i} \cap A_{j}=\emptyset, i \neq j$, 将这些可数集进行如下排列:
	 \begin{equation}
		A=\left[
		\begin{array}{cccc}
			a_{11} & a_{12} & a_{13} & ... \\
			a_{21} & a_{22} & a_{23} & ... \\
			a_{31} & a_{32} & a_{33} & ... \\
			...    & ...    & ...    & ...
		\end{array}
		\right]
		, a_{ij} \in A_{i}
	\end{equation}
	此时$A=\cup A_{i}$, 只需要证明存在一个映射使得A中每一个元素与自然数集N中每一个元素一一对应即可(可数集的定义) \\
	现定义如下映射: \\
	$\alpha: A \to N, a_{ij} \to j+(i+j-1)*(i+j)/2$ \\
	易验证 \\
	该映射为单射($(\forall n \in \alpha(A), \alpha(i,j)=n, \alpha(i_{1},j_{1})=n) \Longrightarrow (i,j)=(i_{1},j_{1})$) \\
	且为满射($\forall n \in N, \exists(i,j), s.t. n=\alpha((i,j))$) \\
	所以$\alpha$为双射, 由可数集的定义可得A为可数集 \\ \\
	当$\exists A_{i} \cap A_{j} \neq \emptyset, i \neq j$, 由夹逼准则可证 \\
	$\cup A_{i}$的基数$\geq A_{i}$的基数=自然数集的基数 \\
	而$A_{i}$之间相交非空时,$\cup A_{i}$的基数$\leq A_{i}$之间相交为空时,$\cup A_{i}$的基数 \\
	$A_{i}$之间相交为空时,$\cup A_{i}$的基数=自然数集的基数 \\
	于是有$A_{i}$之间相交非空时$\cup A_{i}$的基数$\leq$自然数集的基数 \\
	所以$A_{i}$之间相交非空时$\cup A_{i}$的基数=自然数集的基数 \\
	由可数集定义可得，$A_{i}$为可数集
\end{proof}

\end{document}