进制及数的表示 2

学习笔记：
进位制：是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值大小的一种计数方法。
基数：数制所用的数码个数
位权：表示不同位置上的权值

进位计数制

• 十进制
  定义：10个有序数字：0、1、2、3 …… 9和一个小数点符号“."
  用法：加法“逢十进一“，减法”退一当“
  任何一个十进制数都可以表示成以十为底的幂的多项式
  二进制
  定义：二进制的数码符号，0和1，基数为2
  用法：逢二进一，权为2n
  八进制
  定义：具有8个不同的数字符号0、1、2…… 7，基数为8
  用法：逢八进一，权为8n
  十六进制
  定义：具有16个不同的数字符号0、1、2…… 9、A、B、C、D、E、F，基数为16
  用法：逢十六进一，权为16n

进位数的表示方法

下标标注：（1110）₂
后缀字母表示：二进制（B）、八进制（Q）、十进制（D）、十六进制（H）

进制转换

R进制→十进制
按权展开法：求出每一位与其权位的乘积之和

十进制→R进制
整数部分：除基倒取余
小数部分：乘基顺取整

二进制→八/十六进制
以小数点为中心，向左右两边各分3/4位，中间的0不能省略。若最高/最低位不足3/4位，分别补0即可

八/十六进制→二进制
将八/十六进制的每位数分别扩展成3/4位二进制数，排列顺序和小数点位置不变，并去掉两端的多余的0

八进制→十六进制
以二进制为桥梁

带符号位数

机器数：在机器内使用，连同正负号一起数字化的数
机器数三种表示方法：原码，反码，补码（机器数的长度受字长限制）
原码

• 定义：数值位用绝对值表示，0（正号）、1（负号）。原码是数字化符号位加上数的绝对值
  运算：
  同号：数值相加
  异号：比较绝对值大小，大数减小数，最后选择恰当的符号

反码

• 定义：正数反码数值位与真值位相同（即和原码一样），负数反码符号位不变，其余按位取反

补码

• 补码让符号位直接参与运算，简化运算，可以化减为加
  正数补码和原码一样，负数补码是符号位不变，其余按位取反，最后加1
  运算结果不超过机器范围时，补码相加仍为补码，补码相减变加法运算，符号位参与运算，

数的表示

定点表示法
定点数：小数点位置固定不变
定点小数：小数点的位置在符号位之后，有效数值部分最高位之前

• 设某机器字长8位，一个符号位
  定点小数最大数：0.1111 111 最小非零正数 ：0.0000 001
  定点正数最大数：0111 1111 最小正数：0000 0001

溢出
下溢：若数据小于定点数所能表示的最小值时，计算机作0处理
上溢：数据大于定点数所能表示的最大值时，计算机无法表示

浮点数表示

• 定点数表示的数值范围较小，且运算时容易发生溢出，因此更多地采用类似科学计数法的方式表示实数，即浮点数
  一般表现形式：F=M*2^p
  纯小数M是尾数，表示数的精度，P是阶码，确定小数点的位置，表示数的范围