回溯——77. 组合

1 题目描述

给定两个整数 n 和 k，返回范围 [1, n] 中所有可能的 k 个数的组合。

你可以按 任何顺序 返回答案。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/combinations

2 题目示例

示例 1：

输入：n = 4, k = 2
输出：
[
[2,4],
[3,4],
[2,3],
[1,2],
[1,3],
[1,4],
]
示例 2：

输入：n = 1, k = 1
输出：[[1]]

3 题目提示

1 <= n <= 20
1 <= k <= n

4 思路

重点概括:

• 如果解决—个问题有多个步骤，每一个步骤有多种方法，题目又要我们找出所有的方法，可以使用回溯算法;
• 回溯算法是在—棵树上的深度优先遍历(因为要找所有的解，所以需要遍历);
• 组合问题，相对于排列问题而言，不计较一个组合内元素的顺序性(即[1，2，3]与[1，3，2]认为是同一个组合)，因此很多时候需要按某种顺序展开搜索，这样才能做到不重不漏。

既然是树形问题上的深度优先遍历，因此首先画出树形结构。例如输入:n = 4，k = 2，我们可以发现如下递归结构:

1. 如果组合里有1，那么需要在[2,3，4]里再找1个数;
2. 如果组合里有2，那么需要在[3，4]里再找1数。注意:这里不能再考虑1，因为包含1的组合，在第1种情况中已经包含。

依次类推(后面部分省略)，以上描述体现的递归结构是:在以n结尾的候选数组里，选出若干个元素。

说明:

• 叶子结点的信息体现在从根结点到叶子结点的路径上，因此需要一个表示路径的变量path，它是一个列表，特别地，path是一个栈;
• 每一个结点递归地在做同样的事情，区别在于搜索起点，因此需要一个变量start ，表示在区间Lbegin, n]里选出若干个数的组合;
• 可能有一些分支没有必要执行，我们放在优化中介绍。

5 我的答案

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Deque;
import java.util.List;

public class Solution {
    

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        if (k <= 0 || n < k) {
    
            return res;
        }
        // 从 1 开始是题目的设定
        Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
        dfs(n, k, 1, path, res);
        return res;
    }

    private void dfs(int n, int k, int begin, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
    
        // 递归终止条件是：path 的长度等于 k
        if (path.size() == k) {
    
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        // 遍历可能的搜索起点
        for (int i = begin; i <= n; i++) {
    
            // 向路径变量里添加一个数
            path.addLast(i);
            // 下一轮搜索，设置的搜索起点要加 1，因为组合数理不允许出现重复的元素
            dfs(n, k, i + 1, path, res);
            // 重点理解这里：深度优先遍历有回头的过程，因此递归之前做了什么，递归之后需要做相同操作的逆向操作
            path.removeLast();
        }
    }
}

优化

我们上面的代码，搜索起点遍历到 n，即：递归函数中有下面的代码片段：

// 从当前搜索起点 begin 遍历到 n
for (int i = begin; i <= n; i++) {
    
    path.addLast(i);
    dfs(n, k, i + 1, path, res);
    path.removeLast();
}

事实上，如果n = 7，k = 4，从5开始搜索就已经没有意义了，这是因为:即使把5选上，后面的数只有6和7，一共就3个候选数，凑不出4个数的组合。因此，搜索起点有上界，这个上界是多少，可以举几个例子分析。
分析搜索起点的上界，其实是在深度优先遍历的过程中剪枝，剪枝可以避免不必要的遍历，剪枝剪得好，可以大幅度节约算法的执行时间。

容易知道:搜索起点和当前还需要选几个数有关，而当前还需要选几个数与已经选了几个数有关，即与path的长度相关。我们举几个例子分析:
例如: n = 6 , k = 4。
path.size() == 1的时候，接下来要选择3个数，搜索起点最大是4，最后一个被选的组合是[4，5，6];
path.size() == 2的时候，接下来要选择2个数，搜索起点最大是5，最后一个被选的组合是[5， 6];
path.size() == 3的时候，接下来要选择1个数，搜索起点最大是6，最后一个被选的组合是[6] ;
再如:n = 15 , k = 4。
path.size() == 1的时候，接下来要选择3个数，搜索起点最大是13，最后一个被选的是[13，14,15] ;
path.size() == 2的时候，接下来要选择2个数，搜索起点最大是14，最后一个被选的是[14, 15];
path.size() == 3的时候，接下来要选择1个数，搜索起点最大是15，最后一个被选的是[15] ;
可以归纳出:
搜索起点的上界＋接下来要选择的元素个数一1 = n
其中，接下来要选择的元素个数= k - path.size()，整理得到:
搜索起点的上界 = n - (k - path.size()) + 1
所以，我们的剪枝过程就是:把i <= n改成i <= n - (k -path. size() +1 :

import java.util.ArrayDeque;
import java.util.ArrayList;
import java.util.Deque;
import java.util.List;

public class Solution {
    

    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
    
        List<List<Integer>> res = new ArrayList<>();
        if (k <= 0 || n < k) {
    
            return res;
        }
        Deque<Integer> path = new ArrayDeque<>();
        dfs(n, k, 1, path, res);
        return res;
    }

    private void dfs(int n, int k, int index, Deque<Integer> path, List<List<Integer>> res) {
    
        if (path.size() == k) {
    
            res.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }

        // 只有这里 i <= n - (k - path.size()) + 1 与参考代码 1 不同
        for (int i = index; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++) {
    
            path.addLast(i);
            dfs(n, k, i + 1, path, res);
            path.removeLast();
        }
    }
}