leetcode 剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

题目描述：

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

样例：

示例 1:

输入:
[
  [1,3,1],
  [1,5,1],
  [4,2,1]
]
输出: 12
解释: 路径 1→3→5→2→1 可以拿到最多价值的礼物

提示：

    0 < grid.length <= 200
    0 < grid[0].length <= 200

解题思路：

题目说明：从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次 向右 或者 向下 移动一格、直到到达棋盘的右下角。
根据题目说明，易得某单元格只可能从上边单元格或左边单元格到达。

设 f(i,j) 为从棋盘左上角走至单元格 (i,j) 的礼物最大累计价值，易得到以下递推关系：f(i,j)等于 f(i,j−1)和 f(i−1,j) 中的较大值加上当前单元格礼物价值 grid(i,j) 。

f(i,j)=max⁡[f(i,j−1),f(i−1,j)]+grid(i,j)

因此，可用动态规划解决此问题，以上公式便为转移方程。

    状态定义： 设动态规划矩阵 dp ，dp(i,j) 代表从棋盘的左上角开始，到达单元格 (i,j) 时能拿到礼物的最大累计价值。
    转移方程：
        当 i=0 且 j=0 时，为起始元素；
        当 i=0 且 j≠0 时，为矩阵第一行元素，只可从左边到达；
        当 i≠0 且 j=0 时，为矩阵第一列元素，只可从上边到达；
        当 i≠0 且 j≠0 时，可从左边或上边到达；

    初始状态： dp[0][0]=grid[0][0] ，即到达单元格 (0,0) 时能拿到礼物的最大累计价值为 grid[0][0] ；
    返回值： dp[m−1][n−1]，m,n分别为矩阵的行高和列宽，即返回 dp 矩阵右下角元素。

Java程序：

class Solution {
    public int maxValue(int[][] grid) {
        int m = grid.length, n = grid[0].length;
        for(int j = 1; j < n; j++) // 初始化第一行
            grid[0][j] += grid[0][j - 1];
        for(int i = 1; i < m; i++) // 初始化第一列
            grid[i][0] += grid[i - 1][0];
        for(int i = 1; i < m; i++)
            for(int j = 1; j < n; j++) 
                grid[i][j] += Math.max(grid[i][j - 1], grid[i - 1][j]);
        return grid[m - 1][n - 1];
    }
}