20211108 微分跟踪器

微分跟踪器

引理 1. 设 $z(t)$ 是 $[0,\infty )$ 上的连续函数, 且$$\underset{t\to \infty }{\lim }z(t)=0,$$若令$$x(t)=z(Rt),R>0$$则对任意给定的 $T>0$, 有 $$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^T|x(t)|dt=0.$$

证明：
$$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^T|x(t)|dt=\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^T|z(Rt)|dt=\underset{R\to \infty }{\lim }\frac{1}{R}{\int }_0^T|z(Rt)|dRt=\underset{R\to \infty }{\lim }\frac{1}{R}{\int }_0^{RT}|z(t)|dt=0.$$

根据引理 1 及变换:
$$\{\begin{array}{l}s=\frac{t}{R}\\ x_1(s)=z_1(t)+c\\ x_2(s)=R{z}_2(t)\end{array}$$

引理 2. 若系统 $$\{\begin{array}{l}{\dot{z}}_1=z_2,\\ {\dot{z}}_2=f\left(z_1,z_2\right)\end{array}$$的任意解满足: $z_1(t)\to 0,z_2(t)\to 0(t\to \infty )$, 则对任意固定的常数 $c$, 系统 $$\{\begin{array}{l}{\dot{x}}_1=x_2\\ {\dot{x}}_2=R^{2}f\left(x_1-c,\frac{x_2}{R}\right)\end{array}$$的解 $x_1(t)$ 对于任意 $T>0$，有
$$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^T\left|x_1(t)-c\right|dt=0$$

证明：
$$\frac{\mathrm{d}{x}_1(s)}{\mathrm{d}s}=\frac{\mathrm{d}{z}_1(t)}{\mathrm{d}\frac{t}{R}}=R{\dot{z}}_1(t)=R{z}_2(t)=x_2(s)$$

$$\frac{\mathrm{d}{x}_2(s)}{\mathrm{d}s}=\frac{R\mathrm{d}{z}_2(t)}{\mathrm{d}\frac{t}{R}}=R^2{\dot{z}}_2(t)=R^{2}f\left(z_1,z_2\right)=R^{2}f\left(x_1(s)-c,\frac{x_2(s)}{R}\right)$$

因此，系统等价变换成立。

同时，因为有$z_1(t)\to 0当t\to \infty$，且$z_1(t)$可导

$$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^T\left|z_1(t)\right|dt=0$$

即可得
$$\underset{R\to \infty }{\lim }{\int }_0^T\left|x_1(t)-c\right|dt=0$$

参考文献：https://wenku.baidu.com/view/e1ed0cf8aef8941ea76e05e9.html