leetcode：210. 课程表 II

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只有有向无环图才有拓扑序

拓扑排序并不是一个纯粹的排序算法，它只是针对某一类图，找到一个可以执行的线性顺序。

针对哪类图呢？有向无环图。即使：

• 这个图的边必须是有方向的；
• 图内无环。

那么什么是方向呢？

比如微信好友就是有向的，你加了他好友他可能把你删了你却不知道。。。那这个朋友关系就是单向的。。

什么是环？环是和方向有关的，从一个点出发能回到自己，这是环。

所以下图左边不是环，右边是。

那么如果一个图里有环，比如右图，想执行1就要先执行3，想执行3就要先执行2，想执行2就要先执行1，这成了个死循环，无法找到正确的打开方式，所以找不到它的一个拓扑序。

结论：

• 如果这个图不是 DAG，那么它是没有拓扑序的；
• 如果是 DAG，那么它至少有一个拓扑序；
• 反之，如果它存在一个拓扑序，那么这个图必定是 DGA。

对于本题，拓扑排序的意思是：求解一种可行的顺序，能够让我把所有课都学了。

那应该怎么做呢？

（1）首先我们可以用图来描述它，图的两个要素是顶点和边，那么在这里：

• 顶点：每门课
• 边：起点的课程是终点的课程的先修课

假如有一个这样的图：

这种图叫AOV(Activity On Vertex) 网络，在这种图里：

• 顶点：表示活动；
• 边：表示活动间的先后关系

所以一个 AOV 网应该是一个 DAG，即有向无环图，否则某些活动会无法进行。

那么所有活动可以排成一个可行线性序列，这个序列就是拓扑序列。

那么这个序列的实际意义是：

按照这个顺序，在每个项目开始时，能够保证它的前驱活动都已完成，从而使整个工程顺利进行。

回到我们这个例子中：

• 我们一眼可以看出来要先学 C1, C2，因为这两门课没有任何要求嘛，大一的时候就学呗；
• 大二就可以学第二行的 C3, C5, C8 了，因为这三门课的先修课程就是 C1, C2，我们都学完了；
• 大三可以学第三行的 C4, C9；
• 最后一年选剩下的 C6, C7。

这样，我们就把所有课程学完了，也就得到了这个图的一个拓扑排序。

注意，有时候拓扑序并不是唯一的，比如在这个例子中，先学 C1 再学 C2，和先 C2 后 C1 都行，都是这个图的正确的拓扑序，但这是两个顺序了。

所以面试的时候要问下面试官，是要求解任意解，还是列出所有解。

在这个图里的边表示的是一种依赖关系，如果要修下一门课，就要先把前一门课修了

这和打游戏里一样一样的嘛，要拿到一个道具，就要先做 A 任务，再完成 B 任务，最终终于能到达目的地了。

在上面的图里，大家很容易就看出来了它的拓扑序，但当工程越来越庞大时，依赖关系也会变得错综复杂，那就需要用一种系统性的方式方法来求解了。

那么我们回想一下刚刚自己找拓扑序的过程，为什么我们先看上了 C1, C2?

因为它们没有依赖别人啊，也就是它的入度为 0.

• 入度：顶点的入度是指「指向该顶点的边」的数量；
• 出度：顶点的出度是指该顶点指向其他点的边的数量。

所以我们先执行入度为 0 的那些点，因此我们要先记录每个顶点的入度。因为只有当它的入度为 0的时候，我们才能执行它。

在刚才的例子里，最开始 C1, C2 的入度就是 0，所以我们可以先执行这两个。

那在这个算法里第一步就是得到每个顶点的入度。

（1）预处理得到每个点的入度

我们可以用一个 HashMap 来存放这个信息，或者用一个数组会更精巧。

拿到了这个之后，就可以执行入度为 0 的这些点了，也就是 C1, C2.

那我们把可以被执行的这些点，放入一个待执行的容器里，这样之后我们一个个的从这个容器里取顶点就好了。

至于这个容器究竟选哪种数据结构，这取决于我们需要做哪些操作，再看哪种数据结构可以为之服务。

那么首先可以把**[C1, C2]**放入容器中，

然后想想我们需要哪些操作吧！

我们最常做的操作无非就是把点放进来，把点拿出去执行了，所以可以用一个queue

其他的也行，放进来这个容器里的顶点的地位都是一样的，都是可以执行的，和进来的顺序无关，但何必非得给自己找麻烦呢？一个常规顺序的简简单单的 queue 就够用了。

然后就需要把某些点拿出去执行了。

当我们把 C1 拿出来执行，那这意味这什么？

答：意味着「以 C1 为顶点」的「指向其他点」的「边」都消失了，也就是 C1 的出度变成了 0.

如下图，也就是这两条边可以消失了。

那么此时我们就可以更新 C1 所指向的那些点也就是 C3 和 C8 的 入度 了，更新后的数组如下：

那我们这里看到很关键的一步，C8 的入度变成了 0！

也就意味着 C8 此时没有了任何依赖，可以放到我们的 queue 里等待执行了。

此时我们的 queue 里就是：[C2, C8].

下一个我们再执行 C2

那么 C2 所指向的 C3, C5 的 入度-1，

更新表格：

也就是 C3 和 C5 都没有了任何束缚，可以放进 queue 里执行了。

queue 此时变成：[C8, C3, C5]
那么下一步我们执行 C8

相应的 C8 所指的 C9 的入度-1.更新表格：

那么 C9 没有了任何要求，可以放进 queue 里执行了。

queue 此时变成：[C3, C5, C9]

接下来执行 C3，

相应的 C3 所指的 C4 的入度-1.更新表格：

但是 C4 的入度并没有变成 0，所以这一步没有任何点可以加入 queue。

queue 此时变成 [C5, C9]

再执行 C5

那么 C5 所指的 C4 和 C6 的入度- 1.更新表格：

这里 C4 的依赖全都消失啦，那么可以把 C4 放进 queue 里了：

queue = [C9, C4]

Step6

然后执行 C9

那么 C9 所指的 C7 的入度- 1

这里 C7 的入度并不为 0，还不能加入 queue，

此时 queue = [C4]
接着执行 C4

所以 C4 所指向的 C6 和 C7 的入度-1，更新表格：

C6 和 C7 的入度都变成 0 啦！！把它们放入 queue，继续执行到直到 queue 为空即可

时间复杂度

空间复杂度