冲刺强基计划数学物理专题二

1. 强基计划数学物理模拟卷

本人出了一套强基计划数学物理模拟试题，适合有一定基础的高考生。由于本人水平有限，若存在疏漏还请诸位大佬批评指正！

2. 不等式专题

2.1 琴生不等式（数形结合）

2.1.1 模拟卷第三题第一问

已知函数满足。不妨设. 其中$a < p> <>

则由图形关系易得，梯形、梯形、曲边梯形的面积(记曲边梯形为)满足：

因此有：

由此可得：

2.1.2 模拟卷第三题第二问

想要使用琴生不等式，左边容易化为函数均值的形式，但右边不是算术平均值的函数形式，而是几何平均值的函数形式。因此，考虑进行对数转化，将几何均值化为算术均值。

令.令. 容易知道，当时，，且仅当时，。因此，由琴生不等式可得：

即为：

进一步化简即可得到原不等式。

证毕。

2.2 三角函数不等式

2.2.1 模拟卷第四题第一问

令,则有：

令，则由可知，

令，则.因此有.所以有

因此，

证毕。

2.2.2 模拟卷第四题第二问

锐角三角形中，有：

即：

化简得：

容易知道，对于函数，其中，有.因此由琴生不等式可得：

因此有：

当且仅当时，等号成立。

2.2.3 模拟卷第四题第三问

在内有.由琴生不等式得：

即：

又由均值不等式可得：

因此有：

当且仅当时，等号成立。

2.3 均值不等式&柯西不等式

2.3.1 对应于模拟卷第五题第一问

考察均值不等式的配凑技巧

2.3.2 对应于模拟卷第五题第二问

考察均值不等式的配凑技巧

2.3.3 出自2021年北京大学强基计划数学试题

题目： 若实数满足，则的最小值为？

解答： 已知，则有：

因此想法把放一起，放一起。

其中第一个不等式用到了分式形式的柯西不等式，当且仅当且时等号成立。第二个不等式则使用了均值不等式，当且仅当时等号成立。

综上，最小值为2，且仅当或时取得最小值。

2.3.4 出自2021年上海交通大学强基计划数学试题

题目： 已知为正数，求的最小值。

解答： 观察可得，取得最小值的一定满足：

因此，利用待定系数法进行均值不等式配凑：

若想利用均值不等式，我们一定有，以保证前面的系数相同。此外，还要保证的系数成比例，且比例为. 因此有：

解得，，则.

因此，可以如下解答：

当且仅当时等号成立。

因此，

当且仅当时取得最小值。