机械臂速成小指南（十五）：线性规划

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指南目录：

机械臂速成小指南（零点五）：机械臂相关资源

机械臂速成小指南（零）：指南主要内容及分析方法

机械臂速成小指南（一）：机械臂发展概况

机械臂速成小指南（二）：机械臂的应用

机械臂速成小指南（三）：机械臂的机械结构

机械臂速成小指南（四）：机械臂关键部件之减速机

机械臂速成小指南（五）：末端执行器

机械臂速成小指南（六）：步进电机驱动器

机械臂速成小指南（七）：机械臂位姿的描述方法

机械臂速成小指南（八）：运动学建模（标准DH法）

机械臂速成小指南（九）：正运动学分析

机械臂速成小指南（十）：可达工作空间

机械臂速成小指南（十一）：坐标系的标准命名

机械臂速成小指南（十二）：逆运动学分析

机械臂速成小指南（十三）：轨迹规划概述

机械臂速成小指南（十四）：多项式插值轨迹规划

机械臂速成小指南（十五）：线性规划 

机械臂速成小指南（十六）：带抛物线过渡的线性规划 

🦾🪐以下为正文🦾🪐

        上一章节中我们讨论了多项式插值轨迹规划，本章，我们讨论一种更为简单的关节空间轨迹规划方法：线性规划。

一、理论分析

        顾名思义，线性规划中的“线性”，指的是机械臂的关节变量以恒定的速率变化，即关节的角速度恒定，如下图所示。

        这种插值方法是在关节空间中简单地插入一个经过起点（t_0,θ_0） 与终点（t_f,θ_f） 的线段。令t_0=0 ，该线段可表示为

二、程序仿真

        我们使用MATLAB对线性插值的轨迹规划方法进行仿真，并选取选择空间中一点（-100, -100,300,0,0,0 ）作为轨迹规划的起点，而（200,-200,400,0,0,0）作为轨迹规划的终点。

        首先，定义六自由度机械臂的DH参数。

lim1_min = -170 * radian1; lim1_max = 170 * radian1; %关节1(-170，170)
lim2_min = -132 * radian1; lim2_max =   0 * radian1; %关节2(-132，0)
lim3_min =    1 * radian1; lim3_max = 141 * radian1; %关节3(1，141)
lim4_min = -165 * radian1; lim4_max = 165 * radian1; %关节4(-165，165)
lim5_min = -105 * radian1; lim5_max = 105 * radian1; %关节5(-105，105)
lim6_min = -155 * radian1; lim6_max = 155 * radian1; %关节6(-155，155)

lim1 = lim1_max - lim1_min;
lim2 = lim2_max - lim2_min;
lim3 = lim3_max - lim3_min;
lim4 = lim4_max - lim4_min;
lim5 = lim5_max - lim5_min;
lim6 = lim6_max - lim6_min;

theta1 = 0;    d1 = 169.77;     a1 = 64.2;    alpha1 = -pi/2;    offset1 = 0;
theta2 = 0;    d2 = 0;          a2 = 305;     alpha2 = 0;        offset2 = 0;
theta3 = 0;    d3 = 0;          a3 = 0;       alpha3 = pi/2;     offset3 = pi/2;
theta4 = 0;    d4 = -222.63;    a4 = 0;       alpha4 = -pi/2;    offset4 = 0;
theta5 = 0;    d5 = 0;          a5 = 0;       alpha5 = pi/2;     offset5 = 0;
theta6 = 0;    d6 = -36.25;     a6 = 0;       alpha6 = 0;        offset6 = -pi;

        第二步，运动学建模。

L(1) = Link([theta1, d1, a1, alpha1, offset1], 'standard');
L(2) = Link([theta2, d2, a2, alpha2, offset2], 'standard');
L(3) = Link([theta3, d3, a3, alpha3, offset3], 'standard');
L(4) = Link([theta4, d4, a4, alpha4, offset4], 'standard');
L(5) = Link([theta5, d5, a5, alpha5, offset5], 'standard');
L(6) = Link([theta6, d6, a6, alpha6, offset6], 'standard');
% 定义关节范围
L(1).qlim=[lim1_min,lim1_max];
L(2).qlim=[lim2_min,lim2_max];
L(3).qlim=[lim3_min,lim3_max];
L(4).qlim=[lim4_min,lim4_max];
L(5).qlim=[lim5_min,lim5_max];
L(6).qlim=[lim6_min,lim6_max];  

robot = SerialLink(L,'name','AR3');

        第三步，定义起始点与终止点。

T1=transl(-100,-100,300);				%齐次变换矩阵
T2=transl(200,-200,400);				%齐次变换矩阵
init_ang=robot.ikine(T1);				%运动学逆解
targ_ang=robot.ikine(T2);				%运动学逆解

        第四步，定义储存机械臂关节旋转角度、角速度及角加速度的数组。

q = zeros(step,N);   %初始化机械臂的位置
qd = zeros(step,N);  %初始化机械臂的角速度
qdd = zeros(step,N); %初始化机械臂的角加速度

        第五步，按照上述原理进行线性插值。

step = 50
for t = 1:step
    q(t,:)   = (targ_ang-init_ang)/step * t + init_ang;  %位置
	qd(t,:)  = (targ_ang-init_ang)/step;                 %角速度
	qdd(t,:) = 0;                                        %角加速度
end

T=robot.fkine(q);   %运动学正解
nT=T.T;             %转为齐次比那换矩阵
plot3(squeeze(nT(1,4,:)),squeeze(nT(2,4,:)),squeeze(nT(3,4,:)));%输出末端轨迹
title('线性插值轨迹');
robot.plot(q);		%动画演示 

        不难发现，虽然各个关节是以恒定的角速度旋转的，但末端执行器在空间中的轨迹并不是直线。

三、编程实现

        具体的代码与多项式插值轨迹规划那一章中的代码类似，无非就是生成轨迹点的插值函数换成了这个线性的函数。

         这种轨迹规划方法很简便，但是存在一个问题：我们将机械臂在起始点与终止点处的速度视为零，这就导致了机械臂在这两个位置会有速度的突变，则会对关节产生冲击，不利于机械臂的作业精度以及其臂体的坚固性，这一点在机械臂作两点间往复运动时尤为明显。

        因此，由抛物线过渡的线性规划应运而生，我们会在下一章对其进行介绍。