维度问题以及等高线

1. 问题提出

这里我列出三个式子，大家一起来看一下：

y=x是一元函数，z=y+x是二元函数，f=z+y+x是三元函数。这么说来一元就是一维，二元就是二维，三元就是三维？

其实是可以这么理解的，那如果这么理解了我们，有一个维度我们就错了，哪错了？

一维错了，很明显，我们在画图时直接画的y=x为一条直线，直线是二维的。而一维只能代表点，不可能有线存在，那为什么这里我们画出了线？

因此为我们预判了，预判了y=x接下来发生的事情。

和二维作比较，二维就没有预判，它很安分地做着一条线，它没有预判接下来它会怎么变。

和三维作比较，三维也很正常，它就做为一个曲面放在那里，没有预测接下来怎么变。

2.线、面的数学表达

我们现在给出线和面的数学表达，这有助于我们理解后面的等高线。

2.1 线的数学表达

对于线来说，在xoy平面中，数学中可以有两种表达方式：

• 第一种：
• 第二种：

这其实很好理解，将第一种的表达方式中的y移到与x一边就是第二种形式。

2.2 面的数学表达

通过对线的数学表达的延申，在xyz空间中，就可以写出面的数学表达：

• 第一种：
• 第二种：

3.等高线

现在假设有一个曲面：，我们用一个平行于xoy的平面去截取

，所得到的曲线就是等高线，其数学表达式如下：

 

进一步地可以写成：

我们将c进行移项可以得到：

这里需要特别说明一下：从等高线的定义来看，这条曲线是一条“漂浮”在半空中的曲线，漂浮的高度是c，像是三维的。从数学定义来看，这与我们前面所讲的直线的通用数学表达式在形式上是一样的，是一条二维的曲线。这两种说法并不矛盾，我们可以从两个角度来理解：

第一个角度：我们将高度为c的那个平面就当作是xoy平面，那么这条曲线在这个平面c中的方程就是

第二个角度：我们也可以将等高线投影到xoy的平面，投影的过程是在两边同时减c，结果就是。这种方法更好理解，我们绘制等高线都是以投影方式i进行的。

总的来说，从更高维度上看，等高线是漂浮在空中的。但是从数学的维度来说，它是二维的，并不是三维的。

下面我来看一下曲面的梯度与等高线切线的关系。

对于我们对两边微分可以得到：

我们将其写成向量相乘得形式：

其中表示梯度，这非常好理解。表示什么呢？实际上它与曲线得切线方向一致。

如果觉得不好理解的话，可以想一下一元函数的斜率，我们将变为，变为，那么曲线在某点的斜率就为：，由于都是带有方向性，因此实际上就是斜率的方向，即切线的方向。

由于与相乘等于0，因此有：曲面上某一点的梯度方向与与该点等高线的切线垂直。