齐次坐标的理解

 

欧氏几何在研究空间的时候，有一部分是对于平行线的描述： 同一个平面上的两条平行线是不相交的，下面这张是鸟瞰图。

 

 

就相当于我们在一张纸上画了两条相互平行的线段，它们一定是无限延伸且不相交的。但是如果我们把我们把这张纸拿起来，眼睛从侧面去观察它我们就会发现， 这两条线不平行了（实际上本质还是平行的）

 

这种由视点变化导致的视觉效果变化，是跟我们的眼睛结构是有关的，在几何学上有个术语叫：投影空间（我们看到的世界万物都是投影在我们的视网膜上的）。

所以就有了这个问题：怎么解决欧氏几何平行线，在投影几何上不成立的这个问题，所以就有了齐次坐标的概念。齐次坐标一言难尽，它相当于是在欧氏几何的坐标系上硬加了一个变数，用这个变数 w 加上原来的坐标，用于解决在投影空间上原本平行的两条线变得不平行的问题假设我们把线上的每个点的x 坐标都加上变数 w , 每个点都发生了位移，我们再把纸拿起来从侧面去观察，假设正好这个 w 的值的规律是能够让两条线投影到我们的视网膜上变成平行的：

 这时候我们再回到鸟瞰图上，这两条蓝色的线它是这样的：

 

这两条线的点是可以用 坐标 x, y 来表示的，我们就能够描述成 (x , y ) => (x/w, y/w)， (x/w, y/w) 即齐次坐标。

齐次坐标的几何意义是， 它代表的只是一个方向，没有起点与终点。所以在欧氏几何中平行线就是平行线是没有交点的， 而到了投影几何中两条平行线是有交点的， 这个交点出现的位置，用变数 w 来辅助描述就是(x, y, w)。