高等数学（第七版）同济大学 习题1-10 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 习题1-10

 

$\begin{array}{rlr}& 1.假设函数f(x)在闭区间[0,1]上连续，并且对[0,1]上任一点x有0\le f(x)\le 1。& \\ & & \\ & 试证明[0,1]中必存在一点c，使得f(c)=c（c称为函数f(x)的不动点）。& \end{array}$

解：

   设 F ( x ) = f ( x ) − x ， 则 F ( 0 ) = f ( 0 ) − 0 ≥ 0 ， F ( 1 ) = f ( 1 ) − 1 ≤ 0    如 果 F ( 0 ) = 0 或 F ( 1 ) = 0 ， 则 0 或 1 即 为 f ( x ) 的 不 动 点 ， 如 果 F ( 0 ) > 0 且 F ( 1 ) < 0 ， 则 由 零 点 定 理 ，    得 出 必 存 在 c ∈ ( 0 ,   1 ) ， 使 F ( c ) = f ( c ) − c = 0 ， 即 f ( c ) = c ， c 为 f ( x ) 的 不 动 点 。 \begin{aligned} &\ \ 设F(x)=f(x)-x，则F(0)=f(0)-0 \ge 0，F(1)=f(1)-1 \le 0\\\\ &\ \ 如果F(0)=0或F(1)=0，则0或1即为f(x)的不动点，如果F(0) \gt 0且F(1) \lt 0，则由零点定理，\\\\ &\ \ 得出必存在c \in (0, \ 1)，使F(c)=f(c)-c=0，即f(c)=c，c为f(x)的不动点。 & \end{aligned} ​  设F(x)=f(x)−x，则F(0)=f(0)−0≥0，F(1)=f(1)−1≤0  如果F(0)=0或F(1)=0，则0或1即为f(x)的不动点，如果F(0)>0且F(1)<0，则由零点定理，  得出必存在c∈(0, 1)，使F(c)=f(c)−c=0，即f(c)=c，c为f(x)的不动点。​​

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$\begin{array}{rlr}& 2.证明方程x^5-3x=1至少有一个根介于1和2之间。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设f(x)=x^5-3x-1，则f(x)在闭区间[1,2]上连续，且f(1)=-3<0，f(2)=25>0。& \\ & & \\ & 由零点定理，得出\exists \xi \in (1,2)，使f(\xi )=0，\xi 是介于1和2之间的方程的根。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 3.证明方程x=asinx+b，其中a>0，b>0，至少有一个正根，并且它不超过a+b。& \end{array}$

解：

   设 f ( x ) = x − a   s i n   x − b ， 则 f ( x ) 在 闭 区 间 [ 0 ,   a + b ] 上 连 续 ， 且 f ( 0 ) = − b < 0 ， f ( a + b ) = a [ 1 − s i n   ( a + b ) ] ，    当 s i n   ( a + b ) < 1 时 ， f ( a + b ) > 0 ， 由 零 点 定 理 ， 得 出 ∃   ξ ∈ ( 0 ,   a + b ) ， 使 f ( ξ ) = 0 ， 即 ξ 为 方 程 的 根 ，    是 正 根 并 且 不 超 过 a + b ， 当 s i n   ( a + b ) = 1 时 ， f ( a + b ) = 0 ， a + b 是 满 足 条 件 的 正 根 。 \begin{aligned} &\ \ 设f(x)=x-a\ sin\ x -b，则f(x)在闭区间[0, \ a+b]上连续，且f(0)=-b \lt 0，f(a+b)=a[1-sin\ (a+b)]，\\\\ &\ \ 当sin\ (a+b) \lt 1时，f(a+b) \gt 0，由零点定理，得出\exists\ \xi \in (0, \ a+b)，使f(\xi)=0，即\xi为方程的根，\\\\ &\ \ 是正根并且不超过a+b，当sin\ (a+b)=1时，f(a+b)=0，a+b是满足条件的正根。 & \end{aligned} ​  设f(x)=x−a sin x−b，则f(x)在闭区间[0, a+b]上连续，且f(0)=−b<0，f(a+b)=a[1−sin (a+b)]，  当sin (a+b)<1时，f(a+b)>0，由零点定理，得出∃ ξ∈(0, a+b)，使f(ξ)=0，即ξ为方程的根，  是正根并且不超过a+b，当sin (a+b)=1时，f(a+b)=0，a+b是满足条件的正根。​​

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$\begin{array}{rlr}& 4.证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程a_0{x}^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+\cdot \cdot \cdot +a_{2n}x+a_{2n+1}=0至少有一实根，& \\ & & \\ & 其中a_0，a_1，\cdot \cdot \cdot ，a_{2n+1}均为常数，n\in N。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 当x的绝对值充分大时，f(x)=a_0{x}^{2n+1}+a_1{x}^{2n}+\cdot \cdot \cdot +a_{2n}x+a_{2n+1}的符号取决于a_0的符号，当x为正时与a_0同号，& \\ & & \\ & 当x为负时与a_0异号，a_0\ne 0。因为f(x)是连续的，它在充分大的区间两端异号，由零点定理得知它在区间内& \\ & & \\ & 至少有一点处为零，所以f(x)=0至少有一个实根。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 5.若f(x)在[a,b]上连续，a<x_1<x_2<\cdot \cdot \cdot <x_n<b（n\ge 3），则在(x_1,x_n)内至少有一点\xi ，& \\ & & \\ & 使f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot \cdot \cdot +f(x_n)}{n}。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 因为f(x)在区间[a,b]上连续，又因为[x_1,x_n]\subset [a,b]，所以f(x)在[x_1,x_n]上连续。& \\ & & \\ & 设M=max\{f(x)|x_1\le x\le x_n\}，m=min\{f(x)|x_1\le x\le x_n\}，则m\le \frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot \cdot \cdot +f(x_n)}{n}\le M.& \\ & & \\ & 如果上述不等式为不等号，由介值定理得知，\exists \xi \in (x_1,x_n)，使f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot \cdot \cdot +f(x_n)}{n}，& \\ & & \\ & 如果上述不等式为等号，m=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot \cdot \cdot +f(x_n)}{n}，则有f(x_1)=f(x_2)=\cdot \cdot \cdot =f(x_n)=m，& \\ & & \\ & 任取x_2，\cdot \cdot \cdot ，x_{n-1}中一点作为\xi ，有\xi \in (x_1,x_n)，使f(\xi )=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot \cdot \cdot +f(x_n)}{n}& \\ & & \\ & 同理可证，\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdot \cdot \cdot +f(x_n)}{n}=M。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 6.设函数f(x)对于闭区间[a,b]上的任意两点x、y，恒有|f(x)-f(y)|\le L|x-y|，& \\ & & \\ & 其中L为正常数，且f(a)\cdot f(b)<0。证明：至少有一点\xi \in (a,b)，使得f(\xi )=0。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 任取x_0\in (a,b)，\forall \epsilon >0，取\delta =min\left\{\frac{\epsilon }{L}，x_0-a，b-x_0\right\}，当|x-x_0|<\delta 时，& \\ & & \\ & 由假设|f(x)-f(x_0)|\le L|x-x_0|<L\delta \le \epsilon ，所以f(x)在x_0处连续。因为是任取x_0\in (a,b)，& \\ & & \\ & 所以f(x)在(a,b)内连续。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 7.证明：若f(x)在(-\infty ,+\infty )内连续，且\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)存在，则f(x)必在(-\infty ,+\infty )内有界。& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 设\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A，\forall \epsilon >0，取\epsilon =1，\exists X>0，当|x|>X时，& \\ & & \\ & 有|f(x)-A|<1\Rightarrow |f(x)|\le |f(x)-A|+|A|<|A|+1。& \\ & & \\ & 因为f(x)在[-X,X]上连续，由有界性定理得出，\exists M>0，\forall x\in [-X,X]，有|f(x)|\le M。& \\ & & \\ & 取M^{\prime }=max\{M,|A|+1\}，即有|f(x)|\le M^{\prime }，\forall x\in (-\infty ,+\infty )。& \end{array}$

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$\begin{array}{rlr}& 8.在什么条件下，(a,b)内的连续函数f(x)为一致连续？& \end{array}$

解：

$\begin{array}{rlr}& 如果f(a^{+})，f(b^{-})都存在，设F(x)=\{\begin{array}{l}f(a^{+})，x=a，\\ \\ f(x)，x\in (a,b)，\\ \\ f(b^{-})，x=b.\end{array}，证得F(x)在区间[a,b]上连续，& \\ & & \\ & 从而F(x)在区间[a,b]上一致连续，也就有F(x)在区间(a,b)内一致连续，f(x)在区间(a,b)内一致连续。& \end{array}$